Сколько различных способов можно расставить 8 футболистов в шеренгу, так чтобы Петя находился между Мишей и Сережей

Чтобы решить эту задачу, нам нужно выяснить, сколько различных мест может занимать Петя в шеренге из 8 футболистов, где он находится между Мишей и Сережей. Пусть мы обозначим футболистов как П, М, и С, соответственно.

Если Петя находится между Мишей и Сережей, то есть три возможные позиции, где они могут стоять: ПМС, МПС и МСП.

Теперь рассмотрим каждый из этих случаев более подробно:

1. Путем расстановки футболистов П, М и С в положение ПМС. У нас остается 5 оставшихся футболистов, которых мы обозначим как А, Б, В, Г и Д. Эти футболисты могут занять любую из пяти оставшихся позиций в шеренге. То есть, у нас есть 5! (факториал пяти: 5 * 4 * 3 * 2 * 1) способов разместить оставшихся футболистов в свободных позициях.

2. Пусть футболисты занимают позицию МПС. Как и в предыдущем случае, у нас остается 5 оставшихся футболистов (А, Б, В, Г и Д), которые могут занять свободные позиции в шеренге. Опять же, у нас есть 5! способов разместить их.

3. Наконец, рассмотрим позицию МСП. У нас все так же остается 5 оставшихся футболистов (А, Б, В, Г и Д), которые могут занять свободные позиции в шеренге. И, как и в предыдущих случаях, у нас есть 5! способов разместить их.

Итак, всего возможных способов разместить футболистов в шеренге с условием, что Петя находится между Мишей и Сережей, будет равно сумме способов из каждого из трех случаев:

\[3 \times 5! + 3 \times 5! + 3 \times 5!\]

Вычислим значение:

\[3 \times 5! + 3 \times 5! + 3 \times 5! = 3 \times 3 \times 5! = 3^2 \times 5! = 9 \times 120 = 1080\]

Таким образом, существует 1080 различных способов расставить 8 футболистов в шеренгу, так чтобы Петя находился между Мишей и Сережей (не обязательно рядом).