Сколько различных комбинаций заданий у ученика есть для выбора и записи в тетради, в новой теме книги по алгебре

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Мы должны определить, сколько различных комбинаций заданий может выбрать ученик из 8 заданий для записи в тетради.

Количество комбинаций можно найти с помощью формулы для сочетаний.

Количество различных комбинаций заданий из набора из \(n\) элементов, выбранных \(k\) элементов, определяется формулой:

\[{n \choose k} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Где \(n!\) - факториал числа \(n\), равный произведению всех целых чисел от 1 до \(n\).

В нашем случае, значение \(n\) равно 8, поскольку у нас есть 8 заданий для выбора, и значение \(k\) равно 2, так как ученик должен выбрать 2 задания.

Подставим значения в формулу:

\[{8 \choose 2} = \frac{{8!}}{{2!(8-2)!}} = \frac{{8!}}{{2!6!}}\]

Вычислим факториалы:

\[{8 \choose 2} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{2!6!}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2!}} = \frac{{56}}{{2}} = 28\]

Таким образом, у ученика имеется 28 различных комбинаций заданий для выбора и записи в тетради.

Теперь давайте рассмотрим вторую часть задачи. Нужно найти количество различных вариантов выбора 2 заданий у ученика.

Так как задания выбираются из одного набора, но порядок выбранных заданий не имеет значения, мы можем использовать формулу для сочетаний, как ранее:

\[{8 \choose 2} = 28\]

Ответ: у ученика имеется 28 различных комбинаций заданий для выбора и записи в тетради, а количество различных вариантов выбора 2 заданий учеником равно 28.