Сколько различных чисел могли назвать дети после бала, чтобы описать, сколько раз они танцевали?

Для решения этой задачи нам потребуется некоторое математическое мышление. Давайте разберемся пошагово.

1. Возьмем во внимание, что каждая пара участников бала танцевала в одинаковой последовательности. Другими словами, если ребенок А танцевал с ребенком Б, то мы будем считать это отдельной последовательностью танцев, независимо от того, с кем еще ребенок А мог танцевать.

2. Давайте рассмотрим первого ребенка, который стоит на линии. Он может танцевать с любым из оставшихся детей, и у нас будет 1 способ выбора партнера.

3. После первого танца остается \(n-1\) детей, и каждый из них может танцевать с любым из оставшихся \((n-1)\) детей. Таким образом, для каждого способа выбора партнера первого ребенка, у нас будет \((n-1)\) способов выбора партнера для второго ребенка.

4. Продолжая этот процесс, у нас будет \((n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \ldots \cdot 1\) способов выбора партнеров для последующих детей. Это можно записать как \((n-1)!\), где символ "!" обозначает факториал.

5. Перед тем как подсчитать общее количество различных чисел, которые могли назвать дети после бала, давайте рассмотрим случай, когда у нас есть только 3 детей на балу. Пусть их зовут А, Б и В. Количество способов, которыми они могут танцевать друг с другом, можно проиллюстрировать следующей таблицей:

| 1-й ребенок | 2-й ребенок | 3-й ребенок |
|-------------|-------------|-------------|
| А | Б | В |
| А | В | Б |
| Б | А | В |
| Б | В | А |
| В | А | Б |
| В | Б | А |

Таким образом, мы получаем 6 различных комбинаций танцев для трех детей.

6. Итак, общее количество различных чисел, которые могли назвать дети после бала, можно выразить как \((n-1)!\), где \(n\) - количество детей на балу.

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!