Сколько различных чисел могли быть записаны на доске, если каждое число было возведено либо в квадрат, либо в куб

Для решения задачи, давайте проанализируем каждый случай по отдельности. Пусть исходное число на доске равно \(n\). Мы можем возвести число в квадрат или в куб и записать результат на доску.

1. Если число было возведено в квадрат, то результатом будет \(n^2\).
2. Если число было возведено в куб, то результатом будет \(n^3\).

Поскольку каждое число на доске должно быть записано либо в виде квадрата, либо в виде куба, то мы можем представить возможные значения результатов на доске следующим образом:

1. Если число \(n\) было возведено в квадрат, то на доске будет число \(n^2\).
2. Если число \(n\) было возведено в куб, то на доске будет число \(n^3\).

Теперь, чтобы найти все возможные числа на доске, нам нужно рассмотреть все возможные значения числа \(n\).

1. Если мы возьмем \(n = 0\), то получим \(n^2 = 0\) и \(n^3 = 0\). Значит, у нас только одно число на доске - 0.
2. Если возьмем положительное натуральное число \(n\), то результаты будут уникальными числами, так как квадрат и куб натурального числа не могут быть равны друг другу. То есть каждое натуральное число \(n\) даст нам два уникальных числа на доске - \(n^2\) и \(n^3\).
3. Если возьмем отрицательное число \(n\), то также получим уникальные значения на доске, так как квадрат и куб отрицательного числа также не могут быть равны друг другу. Значит, каждое отрицательное число \(n\) даст нам два уникальных числа на доске - \(n^2\) и \(n^3\).

Следовательно, в итоге на доске будет \(1\) (0) + \(2n\) (для всех натуральных чисел \(n\)) + \(2n\) (для всех отрицательных чисел \(n\)) чисел.

Для лучшего понимания, предоставлю несколько примеров:

1. При \(n = 0\), у нас только одно число на доске - 0.
2. При \(n = 1\), на доске будут числа 1 и 1.
3. При \(n = 2\), на доске будут числа 4 и 8.
4. При \(n = -3\), на доске будут числа 9 и -27.

Таким образом, в зависимости от значения числа \(n\), на доске может быть разное количество различных чисел. Если число \(n\) равно нулю, у нас будет только одно число на доске (0). Во всех остальных случаях будет два различных числа на доске.