Сколько раз выпала решка у монеты при 16 подбрасываниях, чтобы узнать, какая вероятность выпадения решки 10 раз больше

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется понимание основ вероятности и комбинаторики.

Вероятность события можно выразить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Обозначим вероятность выпадения решки как \(P(\text{{решка}})\), а вероятность выпадения орла как \(P(\text{{орёл}})\).

Мы хотим узнать, сколько раз выпала решка при 16 подбрасываниях монеты, чтобы вероятность выпадения решки была больше вероятности выпадения орла в 10 раз. Давайте приступим к решению.

Количество возможных исходов при подбрасывании монеты равно 2, так как может выпасть либо решка, либо орёл. Таким образом, общее число исходов равно \(2^{16}\), поскольку мы подбрасываем монету 16 раз.

Для того чтобы узнать сколько раз выпала решка, которое будет равно \(n\), нужно посчитать число сочетаний из 16 по \(n\). Обозначим это число как \(\binom{16}{n}\).

Теперь, чтобы определить вероятность выпадения одного исхода, используем формулу биномиального распределения:

\[P(\text{{решка}}) = \binom{16}{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16-n}\]

Таким образом, вероятность выпадения решки ровно \(n\) раз равна сочетанию из 16 по \(n\) умноженному на \(\frac{1}{2^n}\) и \(\frac{1}{2^{16-n}}\).

Теперь нам нужно найти такое значение \(n\), при котором вероятность выпадения решки будет в 10 раз больше вероятности выпадения орла.

\[P(\text{{решка}}) = 10 \times P(\text{{орёл}})\]

\[\binom{16}{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16-n} = 10 \times \binom{16}{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16-n}\]

\[\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{20}\]

Теперь давайте найдём значение \(n\), возводя обе части уравнения в степень:

\[2^{-n} = 2^{-2} \times 2^{-1}\]

Подставим значение степени:

\[ -n = -2 - 1 \]

\[ n = 3 \]

Таким образом, решка должна выпасть 3 раза при 16 подбрасываниях монеты, чтобы вероятность выпадения решки была больше вероятности выпадения орла в 10 раз.