Сколько раз встречается цифра, когда записывают подряд все натуральные числа от 1 до 2020 включительно?

Чтобы решить эту задачу, мы посмотрим на каждую цифру отдельно и подсчитаем, сколько раз она встречается в числах от 1 до 2020.

Начнем с цифры 0. Чтобы цифра 0 появилась в записи числа, это число должно оканчиваться на 0, например, 10, 20, 30 и т.д. В пределах от 1 до 2020 оканчивается на 0 ровно 202 раза.

Теперь перейдем к цифре 1. Она может появиться в записи числа на трех позициях: первая цифра, вторая цифра и третья цифра. Всего чисел от 1 до 2020 — 2020, поэтому встречается она на каждой позиции 202 раза. Таким образом, цифра 1 встречается в записи чисел от 1 до 2020 включительно 3 * 2020 = 6060 раз.

Повторим процесс для остальных цифр:

Цифра 2 появляется на первой позиции в записи числа 2 * 9 * 100 = 1800 раз (от 200 до 299, от 1200 до 1299 и т.д.), на второй позиции — 202 раза (от 20 до 29, от 120 до 129 и т.д.), на третьей позиции — 202 раза (от 2 до 12, от 102 до 112 и т.д.). Всего цифра 2 встречается 1800 + 202 + 202 = 2204 раза.

Аналогично, цифра 3 встречается 202 раза на каждой позиции, итого 3 * 2020 = 6060 раз.

Проделываем этот процесс для прочих цифр:

Цифра 4 встречается 202 раза на каждой позиции, итого 4 * 2020 = 8080 раз.

Цифра 5 встречается 202 раза на каждой позиции, итого 5 * 2020 = 10100 раз.

Цифра 6 встречается 202 раза на каждой позиции, итого 6 * 2020 = 12120 раз.

Цифра 7 встречается 202 раза на каждой позиции, итого 7 * 2020 = 14140 раз.

Цифра 8 встречается 202 раза на каждой позиции, итого 8 * 2020 = 16160 раз.

Цифра 9 встречается 202 раза на каждой позиции, итого 9 * 2020 = 18180 раз.

Просуммируем все полученные результаты для каждой цифры:

0 появляется 202 раза.

1 появляется 6060 раз.

2 появляется 2204 раза.

3 появляется 6060 раз.

4 появляется 8080 раз.

5 появляется 10100 раз.

6 появляется 12120 раз.

7 появляется 14140 раз.

8 появляется 16160 раз.

9 появляется 18180 раз.

Таким образом, суммарно все цифры встречаются 202 + 6060 + 2204 + 6060 + 8080 + 10100 + 12120 + 14140 + 16160 + 18180 = 90906 раз.