Сколько раз число 3 встречается в разложении произведения всех натуральных чисел от 1 до 100 на множители?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разложить произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 на простые множители и посчитать, сколько раз встречается число 3 в этом разложении.

Для начала, давайте разложим все числа от 1 до 100 на простые множители:

\[
\begin{align*}
1 &= 1 \\
2 &= 2 \\
3 &= 3 \\
4 &= 2^2 \\
5 &= 5 \\
6 &= 2 \cdot 3 \\
7 &= 7 \\
8 &= 2^3 \\
9 &= 3^2 \\
10 &= 2 \cdot 5 \\
11 &= 11 \\
12 &= 2^2 \cdot 3 \\
13 &= 13 \\
14 &= 2 \cdot 7 \\
15 &= 3 \cdot 5 \\
16 &= 2^4 \\
17 &= 17 \\
18 &= 2 \cdot 3^2 \\
19 &= 19 \\
20 &= 2^2 \cdot 5 \\
\end{align*}
\]

Продолжим разложение:

\[
\begin{align*}
21 &= 3 \cdot 7 \\
22 &= 2 \cdot 11 \\
23 &= 23 \\
24 &= 2^3 \cdot 3 \\
25 &= 5^2 \\
26 &= 2 \cdot 13 \\
27 &= 3^3 \\
28 &= 2^2 \cdot 7 \\
29 &= 29 \\
30 &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \\
31 &= 31 \\
32 &= 2^5 \\
33 &= 3 \cdot 11 \\
34 &= 2 \cdot 17 \\
35 &= 5 \cdot 7 \\
36 &= 2^2 \cdot 3^2 \\
37 &= 37 \\
38 &= 2 \cdot 19 \\
39 &= 3 \cdot 13 \\
40 &= 2^3 \cdot 5 \\
\end{align*}
\]

Продолжим разложение:

\[
\begin{align*}
41 &= 41 \\
42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7 \\
43 &= 43 \\
44 &= 2^2 \cdot 11 \\
45 &= 3^2 \cdot 5 \\
46 &= 2 \cdot 23 \\
47 &= 47 \\
48 &= 2^4 \cdot 3 \\
49 &= 7^2 \\
50 &= 2 \cdot 5^2 \\
51 &= 3 \cdot 17 \\
52 &= 2^2 \cdot 13 \\
53 &= 53 \\
54 &= 2 \cdot 3^3 \\
55 &= 5 \cdot 11 \\
56 &= 2^3 \cdot 7 \\
57 &= 3 \cdot 19 \\
58 &= 2 \cdot 29 \\
59 &= 59 \\
60 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \\
\end{align*}
\]

Продолжим разложение:

\[
\begin{align*}
61 &= 61 \\
62 &= 2 \cdot 31 \\
63 &= 3^2 \cdot 7 \\
64 &= 2^6 \\
65 &= 5 \cdot 13 \\
66 &= 2 \cdot 3 \cdot 11 \\
67 &= 67 \\
68 &= 2^2 \cdot 17 \\
69 &= 3 \cdot 23 \\
70 &= 2 \cdot 5 \cdot 7 \\
71 &= 71 \\
72 &= 2^3 \cdot 3^2 \\
73 &= 73 \\
74 &= 2 \cdot 37 \\
75 &= 3 \cdot 5^2 \\
76 &= 2^2 \cdot 19 \\
77 &= 7 \cdot 11 \\
78 &= 2 \cdot 3 \cdot 13 \\
79 &= 79 \\
80 &= 2^4 \cdot 5 \\
\end{align*}
\]

Продолжим разложение:

\[
\begin{align*}
81 &= 3^4 \\
82 &= 2 \cdot 41 \\
83 &= 83 \\
84 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \\
85 &= 5 \cdot 17 \\
86 &= 2 \cdot 43 \\
87 &= 3 \cdot 29 \\
88 &= 2^3 \cdot 11 \\
89 &= 89 \\
90 &= 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \\
91 &= 7 \cdot 13 \\
92 &= 2^2 \cdot 23 \\
93 &= 3 \cdot 31 \\
94 &= 2 \cdot 47 \\
95 &= 5 \cdot 19 \\
96 &= 2^5 \cdot 3 \\
97 &= 97 \\
98 &= 2 \cdot 7^2 \\
99 &= 3^2 \cdot 11 \\
100 &= 2^2 \cdot 5^2 \\
\end{align*}
\]

Теперь, давайте посчитаем, сколько раз число 3 встречается в этом разложении. Мы видим, что число 3 встречается в следующих степенях:

3, 9, 27, 81.

Итак, число 3 встречается в разложении произведения всех натуральных чисел от 1 до 100 на множители четыре раза.

Таким образом, ответ на задачу составляет четыре.