Сколько равна площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, у которой сторона основания равна с, а боковое

Спасибо за ваш вопрос! Давайте рассмотрим пошаговое решение задачи.

Для начала, давайте определим, что такое правильная треугольная призма. Правильная треугольная призма - это трехмерное тело, у которого основание является равносторонним треугольником, а все его боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Итак, у нас есть правильная треугольная призма с основанием, сторона которого равна \( c \), и боковым ребром. Наша задача - найти площадь полной поверхности этой призмы.

Площадь полной поверхности призмы состоит из площадей всех ее граней. В нашем случае, у призмы есть две основания (верхнее и нижнее), и три боковые грани.

Давайте начнем с вычисления площади каждой из граней.

1. Площадь верхнего и нижнего оснований:
Так как основание является равносторонним треугольником, мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника \( S \) равна:
\[ S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \]
Где \( a \) - длина стороны треугольника. В нашем случае, сторона основания также равна \( c \), поэтому площадь одного из оснований будет:
\[ S_{осн} = \frac{{c^2 \sqrt{3}}}{4} \]
Так как у нас есть два основания, их площади нужно сложить:
\[ 2S_{осн} = 2 \times \frac{{c^2 \sqrt{3}}}{4} \]
Упростим это выражение:
\[ 2S_{осн} = \frac{{c^2 \sqrt{3}}}{2} \]
Таким образом, площадь верхнего и нижнего оснований равна \( \frac{{c^2 \sqrt{3}}}{2} \).

2. Площадь боковых граней:
Боковые грани призмы являются равнобедренными треугольниками. Что означает, что две из трех сторон равны, а третья - боковое ребро призмы.
Давайте обозначим боковое ребро буквой \( b \), для удобства.
Площадь равнобедренного треугольника \( S \) равна:
\[ S = \frac{{b \times h}}{2} \]
Где \( b \) - длина основания треугольника, а \( h \) - высота треугольника. В нашем случае, длина основания равна \( c \), а высоту мы должны найти.

Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора. Так как треугольник равносторонний, каждый из его углов равен 60 градусам.
Высота \( h \) можно найти, используя одну из боковых сторон \( b \) следующим образом:
\[ h = b \times \sin(60) \]
Так как \( \sin(60) = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \), мы можем записать:
\[ h = b \times \frac{{\sqrt{3}}}{2} \]

Теперь мы можем найти площадь одной боковой грани:
\[ S_{бок} = \frac{{c \times (b \times \frac{{\sqrt{3}}}{2})}}{2} \]
У нас есть три боковые грани, поэтому общая площадь всех боковых граней будет:
\[ 3S_{бок} = 3 \times \frac{{c \times (b \times \frac{{\sqrt{3}}}{2})}}{2} \]
Упростим это выражение:
\[ 3S_{бок} = \frac{{3cb \sqrt{3}}}{4} \]
Таким образом, площадь всех боковых граней равна \( \frac{{3cb \sqrt{3}}}{4} \).

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности призмы, мы должны сложить площади всех ее граней:
\[ S_{полн} = 2S_{осн} + 3S_{бок} \]
Подставим значения, которые мы нашли ранее:
\[ S_{полн} = \frac{{c^2 \sqrt{3}}}{2} + \frac{{3cb \sqrt{3}}}{4} \]
Мы также знаем, что боковое ребро равно \( b \), поэтому мы можем записать итоговую формулу:
\[ S_{полн} = \frac{{c^2 \sqrt{3}}}{2} + \frac{{3cb \sqrt{3}}}{4} \]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной призмы с основанием \( c \) и боковым ребром \( b \) равна \( \frac{{c^2 \sqrt{3}}}{2} + \frac{{3cb \sqrt{3}}}{4} \).