Сколько попарно различных прямоугольников можно получить, разрезая шахматную доску размером 8 на 8 клеток по линиям

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Давайте рассмотрим каждый возможный размер прямоугольника и посчитаем, сколько вариантов разрезания доски на такие прямоугольники существует.

Для прямоугольников размером 1x1 у нас есть 64 вариантов (это количество клеток на доске).

Для прямоугольников размером 1x2 у нас есть 56 вариантов (можно разместить прямоугольник по горизонтали или по вертикали, поэтому учитываем только одну сторону).

Для прямоугольников размером 1x3 у нас есть 48 вариантов (аналогично рассуждаем, учитываем только одну сторону).

Аналогично можно продолжить рассматривать прямоугольники размером 1x4, 1x5, 1x6, 1x7 и 1x8.

Теперь рассмотрим прямоугольники размером 2x1. У нас есть также 56 вариантов (аналогичные рассуждения касательно расположения - по горизонтали или по вертикали).

Аналогично продолжаем рассуждать для прямоугольников размером 3x1, 4x1, 5x1, 6x1, 7x1 и 8x1.

И так далее, рассматриваем прямоугольники размером 2x2, 2x3, 2x4 и так далее, продолжая аналогичное рассуждение.

Мы можем заметить закономерность: количество прямоугольников размером m x n равно (8 - m + 1) * (8 - n + 1).

Просуммировав все варианты по всем размерам, получаем итоговый ответ: 64 + 56 + 48 + 40 + 32 + 24 + 16 + 8 + 56 + 48 + 40 + 32 + 24 + 16 + 8 + 48 + 40 + 32 + 24 + 16 + 8 + 32 + 24 + 16 + 8 + 16 + 8 + 8 = 1296.

Таким образом, мы можем получить 1296 попарно различных прямоугольников, разрезая шахматную доску размером 8 на 8 клеток по линиям сетки.