1. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известна длина диагонали основания (10 см) и диагоналей боковых

Задача 1:
Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, нужно знать длину диагонали основания (d1) и диагоналей боковых граней (d2 и d3).

Запишем формулу объема прямоугольного параллелепипеда:

\[V = \frac{1}{6} \times d1 \times d2 \times d3\]

Заметим, что диагонали боковых граней параллелепипеда являются его высотой.
Поэтому можно записать формулу объема следующим образом:

\[V = \frac{1}{6} \times d1 \times h_2 \times h_3\]

где \(h_2\) и \(h_3\) - диагонали соответствующих граней параллелепипеда.

Подставляем известные значения в формулу:

\[V = \frac{1}{6} \times 10 \times (2√10) \times (2√17)\]

Выполняем вычисления:

\[V = \frac{1}{6} \times 10 \times 2 \times √10 \times 2 \times √17\]

\[V = \frac{4}{6} \times 10 \times √10 \times √17\]

\[V = \frac{20}{3} \times √170\]

Получаем ответ:

\[V \approx \frac{20}{3} √170\]

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен приблизительно \(\frac{20}{3} √170\) кубических сантиметров.

Задача 2:
Для определения объема тела, полученного вращением прямоугольного треугольника, нам необходимо знать катет (a) и гипотенузу (c) этого треугольника.

Объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, можно найти по формуле:

\[V = \pi \times a^2 \times \frac{c}{3}\]

Подставляем известные значения в формулу:

\[V = \pi \times 3^2 \times \frac{6}{3}\]

Выполняем вычисления:

\[V = \pi \times 9 \times 2\]

Ответ:

\[V = 18\pi\]

Таким образом, объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетом 3 см и гипотенузой 6 см вокруг оси, будет равен 18π кубических сантиметров.