Сколько положительных трехзначных чисел существует, которые: а) являются кратными 10, 16 или 20? б) являются кратными

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей! Давайте рассмотрим каждую часть по отдельности.

а) Чтобы определить количество положительных трехзначных чисел, которые являются кратными 10, 16 или 20, нам нужно разбить задачу на три случая: числа, кратные 10, числа, кратные 16, и числа, кратные 20. Давайте начнем с чисел, кратных 10.

Есть десять положительных трехзначных чисел, кратных 10: 100, 110, 120, ..., 200. Чтобы найти количество этих чисел, мы можем вычислить разность между первым и последним числом этой последовательности и разделить ее на 10 (шаг):

\[Количество = \frac{{последнее\_число - первое\_число}}{{шаг}} = \frac{{200 - 100}}{{10}} = 10\]

Таким образом, есть 10 положительных трехзначных чисел, кратных 10.

Теперь рассмотрим числа, кратные 16. Чтобы определить количество этих чисел, мы должны найти первое трехзначное число, кратное 16, и последнее трехзначное число, кратное 16, а затем разделить разницу между ними на 16:

\[Количество = \frac{{последнее\_число - первое\_число}}{{шаг}} = \frac{{112 - 16}}{{16}} = \frac{{96}}{{16}} = 6\]

Таким образом, есть 6 трехзначных чисел, кратных 16.

Теперь перейдем к числам, кратным 20. Для этого мы также найдем первое трехзначное число, кратное 20, и последнее трехзначное число, кратное 20, и разделим разницу между ними на 20:

\[Количество = \frac{{последнее\_число - первое\_число}}{{шаг}} = \frac{{100 - 20}}{{20}} = \frac{{80}}{{20}} = 4\]

Таким образом, есть 4 трехзначных числа, кратных 20.

b) Теперь давайте рассмотрим числа, кратные ровно одному из трех чисел (10, 16 или 20). Есть несколько способов решить эту часть задачи, и один из них - использовать принцип включения-исключения.

Для начала, посчитаем количество чисел, которые кратны 10 и не кратны ни 16, ни 20. Количество таких чисел равно количеству чисел, кратных 10, минус количество чисел, кратных одновременно 16 и 20. Мы уже вычислили количество чисел, кратных 10 - это 10.

Теперь найдем количество чисел, кратных и 16, и 20. Для этого мы должны найти первое трехзначное число, которое одновременно кратно 16 и 20 (наименьшее общее кратное): \(LCM(16, 20) = 80\). Затем нужно найти последнее трехзначное число, кратное как 16, так и 20 (наибольшее общее кратное): \(LCM(16, 20) = 80\). Теперь найдем количество чисел, кратных 80, и поделим его на 80, чтобы получить количество чисел, кратных и 16, и 20:

\[Количество = \frac{{последнее\_число - первое\_число}}{{шаг}} = \frac{{80 - 80}}{{80}} = 1\]

Таким образом, есть 1 трехзначное число, кратное и 16, и 20.

Теперь посчитаем количество чисел, кратных 16 и не кратных ни 10, ни 20. Это будет равно количеству чисел, кратных 16, минус количество чисел, кратных одновременно 10 и 20:

\[Количество = \frac{{последнее\_число - первое\_число}}{{шаг}} = \frac{{112 - 16}}{{16}} = \frac{{96}}{{16}} = 6\]

Таким образом, есть 6 трехзначных чисел, кратных 16 и не кратных ни 10, ни 20.

Наконец, найдем количество чисел, кратных 20 и не кратных ни 10, ни 16. Это будет равно количеству чисел, кратных 20, минус количество чисел, кратных одновременно 10 и 16:

\[Количество = \frac{{последнее\_число - первое\_число}}{{шаг}} = \frac{{100 - 20}}{{20}} = \frac{{80}}{{20}} = 4\]

Таким образом, есть 4 трехзначных числа, кратных 20 и не кратных ни 10, ни 16.

Теперь нам нужно сложить результаты из каждого случая, чтобы получить общее количество чисел, кратных ровно одному из трех чисел (10, 16 или 20):

\[Количество = 10 + 1 + 6 + 4 = 21\]

Таким образом, есть 21 трехзначное число, которое является кратным ровно одному из трех чисел (10, 16 или 20).