Сколько пар чисел от 1 до 15 имеют НОД, равный

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится немного знания о НОД (наибольшем общем делителе) и его свойствах.

НОД двух чисел - это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. Например, НОД для чисел 8 и 12 равен 4, потому что и 8, и 12 делятся без остатка на 4.

Теперь посмотрим на задачу. Нам нужно найти количество пар чисел от 1 до 15, у которых НОД равен определенному числу.

Для начала рассмотрим НОД чисел 1 и 15. Будучи расположенными на противоположных концах последовательности, эти числа имеют НОД, равный 1. Это пара (1, 15).

Далее рассмотрим НОД чисел 2 и 15. Ни одно из этих чисел не является делителем другого, поэтому НОД этой пары равен 1.

Мы можем продолжать анализировать пары чисел и вычислять их НОД, но есть более эффективный способ решения этой задачи.

Мы можем заметить, что если \( d \) является делителем чисел \( a \) и \( b \), то \( d \) также является делителем их НОД. Это свойство НОД содержит все необходимые сведения для нахождения числа пар с определенным НОД.

Предположим, что НОД двух чисел \( a \) и \( b \) равен \( d \). Это означает, что \( a \) и \( b \) можно представить как \( a = dx \) и \( b = dy \), где \( x \) и \( y \) - целые числа, возможно, сами содержащие делители или комбинации делителей. Поскольку \( d \) - наибольший общий делитель для \( a \) и \( b \), \( x \) и \( y \) должны быть взаимно простыми числами (не иметь общих делителей, кроме 1).

Теперь рассмотрим пары чисел в диапазоне от 1 до 15. Возможные НОДы для пар чисел могут быть: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15. Давайте рассмотрим каждый случай:

1) НОД = 1: Как мы уже заметили, пара (1, 15) имеет НОД, равный 1. Кроме того, для любого числа \( a \) от 1 до 15, пара (1, \( a \)) также будет иметь НОД, равный 1.

2) НОД = 2: Нет пар чисел в диапазоне от 1 до 15, у которых НОД равен 2. Это связано с тем, что все четные числа (кроме 2) имеют НОД, равный 2, только с другими четными числами, которых нет в рассматриваемом диапазоне.

3) НОД = 3: Пары с НОД, равным 3: (3, 6), (3, 9), (6, 9), (9, 12).

4) НОД = 4: Пары с НОД, равным 4: (4, 8), (4, 12), (8, 12).

5) НОД = 5: Пары с НОД, равным 5: (5, 10), (10, 15).

6) НОД = 6: Пары с НОД, равным 6: (6, 12).

7) НОД = 7: Нет пар чисел в диапазоне от 1 до 15, у которых НОД равен 7.

8) НОД = 8: Пара (8, 16) не удовлетворяет условию, так как число 16 не входит в рассматриваемый диапазон.

9) НОД = 9: Пары с НОД, равным 9: (9, 18), (9, 12), (12, 18).

10) НОД = 12: Пары с НОД, равным 12: (12, 24) не удовлетворяет условию, так как число 24 не входит в рассматриваемый диапазон.

11) НОД = 15: Пары с НОД, равным 15: (15, 30) не удовлетворяет условию, так как число 30 не входит в рассматриваемый диапазон.

Таким образом, мы нашли все пары чисел от 1 до 15 с заданными НОДами. Всего у нас получилось 11 пар чисел.