Каков объем конуса, вписанного в шар радиусом основания, равным радиусу шара, если объем шара составляет 156?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать формулы для объема шара и объема конуса, а также использовать свойства вписанного конуса.

Формула для объема шара:
\[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Формула для объема конуса:
\[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Дано, что объем шара равен 156. Мы не знаем радиус шара, но нам говорят, что радиус основания конуса, который вписывается в шар, равен радиусу шара. Обозначим радиус шара и конуса как \( r \), а высоту конуса как \( h \).

Так как мы знаем, что конус вписан в шар, то радиус шара будет также являться радиусом его основания, или \( r \).

Мы хотим найти объем вписанного конуса, так что нам нужно найти высоту конуса, что можно сделать, переставив формулу для объема конуса и решив ее относительно \( h \):

\[ h = \frac{3V_{\text{конуса}}}{\pi r^2} \]

Теперь можем заполнить недостающую информацию в нашей задаче.

Объем шара составляет 156, значит:

\[ V_{\text{шара}} = 156 \]

Мы знаем, что радиус шара равен радиусу конуса, который вписан в шар:

\[ r_{\text{шара}} = r_{\text{конуса}} = r \]

Таким образом, высоту конуса можем найти следующим образом:

\[ h = \frac{3V_{\text{конуса}}}{\pi r^2} \]

Теперь подставим значения в формулу объема конуса и найдем его объем:

\[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{3V_{\text{конуса}}}{\pi r^2}\right) \]

Сокращаем \(\pi r^2\) в числителе и знаменателе:

\[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \cdot 3V_{\text{конуса}} = V_{\text{конуса}} \]

То есть, объем конуса совпадает с самим собой. Это означает, что нет однозначного ответа для объема конуса, который вписан в шар заданного объема 156.

Получается, что в данной задаче нет однозначного решения, так как объем конуса может быть любым, если его основание вписано в шар с заданным объемом.