Сколько отрезков можно провести между разноцветными концами в правильном 10-угольнике, если три вершины покрашены

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться комбинаторным подходом. Давайте разобьем решение на несколько шагов:

1. Сначала посчитаем количество возможных пар вершин, соединение которых даст отрезок. В правильном \( n \)-угольнике количество вершин равно \( n \), а каждая вершина может быть соединена с \( n-1 \) другими вершинами. Однако, в данной задаче, у нас есть 3 разноцветные вершины "рыжего" цвета и 7 разноцветных вершин черного цвета. Таким образом, количество пар вершин, соединение которых даст отрезок, равно \( 3 \times 7 = 21 \).

2. Однако, в этом подсчете у нас учтены и некоторые "дубликаты". Каждый отрезок будет соединяться с двумя вершинами, поэтому каждый отрезок будет посчитан дважды. Чтобы учесть это, мы должны разделить общее количество отрезков на 2: \( \frac{{21}}{{2}} = 10.5 \).

3. Из пункта 2 мы видим, что получаем десять полных отрезков. Однако, у нас есть еще один "половинчатый" отрезок, который мы получаем при соединении двух "рыжих" вершин. Отрезок, связывающий две одноцветные вершины, является половинкой обычного отрезка. Поэтому общее количество отрезков, которое можно провести между разноцветными концами, равно \( 10 + 0.5 = 10.5 \), что можно округлить в большую сторону до 11.

Таким образом, ответ на задачу составляет 11 отрезков, которые можно провести между разноцветными концами в данном правильном 10-угольнике.