Решите уравнение для каждого значения параметра а: x+8a/x-4

Хорошо, рассмотрим задачу по решению уравнения \(x + \frac{8a}{x} - 4\) для каждого значения параметра \(a\). Для начала, давайте приведем это уравнение к общему виду.

Мы имеем уравнение \(x + \frac{8a}{x} - 4 = 0\). Чтобы решить его, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Умножим левую и правую части уравнения на \(x\), чтобы избавиться от дроби:

\[x^2 + 8a - 4x = 0\]

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[x^2 - 4x + 8a = 0\]

Далее, будем решать это квадратное уравнение для каждого значения параметра \(a\). Используем формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где у нас есть \(a = 1\), \(b = -4\) и \(c = 8a\). Подставим значения и найдем дискриминант:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8a\]
\[D = 16 - 32a\]

Теперь давайте рассмотрим различные значения параметра \(a\) и найдем соответствующие решения уравнения.

1) Если \(a = 0\):
Подставим \(a = 0\) в уравнение и решим его:

\[x^2 - 4x + 8 \cdot 0 = 0\]
\[x^2 - 4x = 0\]
\[x(x - 4) = 0\]

Получаем два возможных решения:
\[x = 0\]
\[x = 4\]

2) Если \(a > 0\):
Для \(a > 0\) дискриминант \(D\) будет отрицательным, что означает отсутствие действительных корней у уравнения.
В этом случае, уравнение не имеет решений.

3) Если \(a < 0\):
Для \(a < 0\) дискриминант \(D\) будет положительным, что означает наличие двух действительных корней у уравнения.
Для удобства, найдем значения корней при помощи формулы:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Таким образом, подставим значения \(a < 0\) в уравнение и найдем корни:

\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{16 - 32a}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32a}}{2}\]
\[x = 2 \pm \sqrt{4 - 8a}\]

Получаем два корня:
\[x = 2 + \sqrt{4 - 8a}\]
\[x = 2 - \sqrt{4 - 8a}\]

Таким образом, мы рассмотрели все случаи для значения параметра \(a\) и получили решения уравнения \(x + \frac{8a}{x} - 4 = 0\) для каждого значения \(a\).