Сколько открыток было подписано Сашей за восьмой день, если весь процесс завершился через пятнадцать дней, при условии

Данная задача связана с арифметической прогрессией. Чтобы решить её, нам нужно найти число открыток, которое Саша подписывала в восьмой день.

Из условия задачи мы знаем, что Саша каждый день подписывает на большее количество открыток, чем в предыдущий день. Она подписала 10 открыток в первый день. Поэтому можно предположить, что она подписывает \(n\) открыток во второй день, \(n + 1\) открыток в третий день, \(n + 2\) открыток в четвёртый день и так далее.

Такая последовательность называется арифметической прогрессией, где \(n\) -- первый член прогрессии, а разность между последовательными членами равна 1. Мы можем записать эту арифметическую прогрессию в виде:

\[10, n, n + 1, n + 2, ..., n + 5, ..., n + 14\]

Известно, что процесс подписи открыток завершился через пятнадцать дней. Это означает, что последний член прогрессии равен сумме всех предыдущих членов, то есть \(n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + 14)\).

Таким образом, нам нужно найти значение \(n + 7\) (так как восьмой день приходится на \(n + 7\)-й член прогрессии).

Хотя мы могли бы суммировать все члены прогрессии и затем найти значение \(n + 7\), есть более эффективный способ решить эту задачу.

Мы знаем, что сумма первых \(n\) натуральных чисел равна \(S = \frac{{n(n+1)}}{2}\). Мы также знаем, что сумма арифметической прогрессии равна сумме первого и последнего членов прогрессии, помноженных на количество членов. То есть, сумма арифметической прогрессии \(a, a+d, a+2d, ..., a+(n-1)d\) равна \(S = \frac{{n(2a + (n-1)d)}}{2}\).

В нашем случае, первый член \(a\) равен 10, последний член \(a+(n-1)d\) равен \(n + 14\), а количество членов \(n\), равно 15.

Теперь мы можем записать уравнение для суммы арифметической прогрессии:

\[\frac{{15(2 \cdot 10 + (15-1) \cdot 1)}}{2} = n + 7\]

Упростив это уравнение, получим:

\[150 = 15n + 105\]

Отсюда находим \(n\):

\[45 = 15n\]

\[n = 3\]

Таким образом, Саша подписала 3+7=10 открыток в восьмой день.

Надеюсь, объяснение было ясным и понятным! Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!