Какой угол образуют векторы

Чтобы найти угол между векторами, мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов. Пусть у нас есть два вектора \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\), заданные своими координатами или компонентами. Мы можем записать их как \(\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)\) и \(\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)\).

Скалярное произведение векторов \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) определяется следующим образом:

\[\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z\]

Зная скалярное произведение, мы можем вычислить длины векторов и применить формулу для нахождения угла между векторами:

\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{A} \cdot \vec{B}}}{{|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|}}\]

где \(\theta\) - искомый угол, \(|\vec{A}|\) и \(|\vec{B}|\) - длины векторов \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) соответственно.

Теперь давайте применим эти формулы на примере:

Пусть у нас есть два вектора \(\vec{A} = (2, 3, 4)\) и \(\vec{B} = (-1, 5, -2)\). Найдем угол между ними.

Сначала вычислим скалярное произведение:

\(\vec{A} \cdot \vec{B} = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 5 + 4 \cdot (-2) = -2 + 15 - 8 = 5\)

Затем найдем длины векторов:

\(|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29}\)

\(|\vec{B}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{30}\)

Теперь можем найти угол:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{A} \cdot \vec{B}}}{{|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|}} = \frac{{5}}{{\sqrt{29} \cdot \sqrt{30}}}\)

Чтобы получить значение угла \(\theta\), нам нужно применить обратную функцию косинуса (арккосинус) к обеим сторонам:

\(\theta = \arccos\left(\frac{{5}}{{\sqrt{29} \cdot \sqrt{30}}}\right)\)

Подставляя числа в калькулятор, мы можем приближенно найти значение угла:

\(\theta \approx 46.2^\circ\)

Итак, угол между векторами \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) составляет примерно \(46.2^\circ\).

Надеюсь, данное объяснение поможет понять, как найти угол между векторами.