Сколько орехов осталось на своих местах после перестановки? Орехи имеют номера от 100 до 199 и изменены так, чтобы

Хорошо! Давайте решим первую задачу про орехи.

Предположим, что количество орехов, которые остались на своих местах после перестановки, равно \(x\). Мы можем создать неравенство, основываясь на условии задачи:

\(100 \leq x \leq 199\)

Докажем, что наибольшее количество орехов, которые могли остаться на своих местах, равно 19.

Предположим, что \(x > 19\). Это означает, что хотя бы один орех должен переместиться на расстояние больше, чем 1 или 10. Возможные перемещения орехов на одно место влево или вправо:
- Перемещение на 1 место влево: 199 перейдет на 198, 198 на 197, и так далее. Самый правый орех (т.е. орех номер 100) перемещается на место с номером 99.
- Перемещение на 1 место вправо: аналогично, самый левый орех (т.е. орех номер 199) перемещается на место с номером 200.

Таким образом, мы видим, что при \(x > 19\) хотя бы один орех будет находиться не на своем месте.

Теперь докажем, что \(x = 19\) возможно. Представим, что у нас есть орехи с номерами от 180 до 199. Все они находятся на своих местах. Теперь мы можем перемещать орехи на 10 мест влево. Например:
- Орех номер 199 перемещается на место номер 189
- Орех номер 198 перемещается на место номер 188
- ...
- Орех номер 181 перемещается на место номер 171

Таким образом, после таких перемещений, все орехи с номерами от 100 до 199 остаются на своих местах.

Ответ: Наибольшее количество орехов, которые могли остаться на своих местах после перестановки, равно 19.

Приступим ко второй задаче про выражение \(a+b+c\). У нас есть следующие равенства:

\[
\begin{align*}
1a + 7b &= 5c \\
7a + 1b &= 11c \\
a + b &= 3c
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод подстановки или любой другой удобный способ. Давайте применим метод подстановки.

Используя последнее уравнение \(a + b = 3c\), мы можем выразить переменную \(a\) через \(b\):

\(a = 3c - b\)

Теперь можем заменить \(a\) в первом и втором уравнениях:

\[
\begin{align*}
1(3c - b) + 7b &= 5c \\
7(3c - b) + 1b &= 11c
\end{align*}
\]

Раскроем скобки:

\[
\begin{align*}
3c - b + 7b &= 5c \\
21c - 7b + b &= 11c
\end{align*}
\]

Упростим уравнения:

\[
\begin{align*}
2c &= 6b \\
20c &= 12b
\end{align*}
\]

Теперь мы видим, что два выражения должны быть равными между собой. Мы можем разделить оба уравнения на \(2\) и получить:

\[
\begin{align*}
c &= 3b \\
10c &= 6b
\end{align*}
\]

Из этих уравнений видно, что \(c\) и \(b\) могут иметь только одинаковое значение: \(c = b = 0\). Теперь мы можем найти значение \(a\) с использованием третьего уравнения \(a + b = 3c\):

\(a + 0 = 3 \cdot 0\)

\(a = 0\)

Таким образом, единственное значение, которое может принимать выражение \(a+b+c\), является \(0+0+0 = 0\).

Ответ: Выражение \(a+b+c\) может иметь только одно значение: \(0\).