1. Сколькими способами можно распределить три путевки в дом отдыха между 30 сотрудниками профкома, если каждый

Конечно! Вот обстоятельные ответы на ваши вопросы:

1. Сколькими способами можно распределить три путевки в дом отдыха между 30 сотрудниками профкома, если каждый сотрудник может получить только одну путевку?
Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулой перестановок без повторений. Так как каждому сотруднику может быть выдана только одна путевка, нам нужно выбрать 3 сотрудников из общего количества (30). То есть, нам нужно найти количество сочетаний из 30 по 3. Обозначим это как \({C}_{30}^{3}\).

\({C}_{30}^{3} = \frac{{30!}}{{3! \cdot (30-3)!}}\)
\({C}_{30}^{3} = \frac{{30!}}{{3! \cdot 27!}}\)
\({C}_{30}^{3} = \frac{{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27!}}{{3! \cdot 27!}}\)
\({C}_{30}^{3} = 30 \cdot 29 \cdot 28\)
\({C}_{30}^{3} = 24 360\)

Таким образом, есть 24 360 способов распределить три путевки между 30 сотрудниками профкома.

2. Сколько существует вариантов составления расписания одного учебного дня из четырех занятий по различным предметам для студентов, изучающих 10 дисциплин?
Здесь нам нужно найти количество перестановок с повторениями. У нас 10 дисциплин, и мы выбираем 4 из них для расписания. Обозначим это как \(10^4\).

\(10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\)
\(10^4 = 10,000\)

Таким образом, существует 10,000 вариантов составления расписания из четырех занятий для студентов, изучающих 10 дисциплин.

3. Путем выбора двух яблок и одной груши из корзины с пятью яблоками и тремя грушами, сколько способов существует?
Здесь нам нужно найти количество сочетаний. У нас есть 5 яблок и 3 груши, и мы выбираем 2 яблока и 1 грушу.

Обозначим количество способов как \({C}_{5}^{2} \cdot {C}_{3}^{1}\).

\({C}_{5}^{2} \cdot {C}_{3}^{1} = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} \cdot \frac{{3!}}{{1! \cdot (3-1)!}}\)
\({C}_{5}^{2} \cdot {C}_{3}^{1} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} \cdot \frac{{3!}}{{1! \cdot 2!}}\)
\({C}_{5}^{2} \cdot {C}_{3}^{1} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2!}} \cdot \frac{{3 \cdot 2 \cdot 1}}{{1 \cdot 2 \cdot 1}}\)
\({C}_{5}^{2} \cdot {C}_{3}^{1} = 10 \cdot 3\)
\({C}_{5}^{2} \cdot {C}_{3}^{1} = 30\)

Таким образом, существует 30 способов выбрать два яблока и одну грушу из данной корзины.

4. Сколько вариантов пароля возможно существует, если владелец компьютера вспомнил, что пароль состоит из трех цифр, каждая из которых кратна трем?
Здесь нам нужно найти количество сочетаний с повторениями из множества цифр, кратных трём (то есть 0, 3, 6, 9), так как пароль может состоять из повторяющихся цифр.

Так как пароль состоит из трех цифр, и каждая цифра может быть выбрана из множества {0, 3, 6, 9}, количество вариантов будет равно количеству перестановок с повторениями из этого множества. Обозначим это как \(4^3\).

\(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4\)
\(4^3 = 64\)

Таким образом, существует 64 варианта пароля, если каждая цифра кратна трем.