Сколько общих пересадочных станций необходимо построить, чтобы соединить 100 линий метро в городе? Какое количество

Чтобы решить задачу о количестве общих пересадочных станций, необходимо рассмотреть комбинации каждой пары линий метро и определить, нужна ли для них общая станция пересадки.

Допустим, у нас есть 100 линий метро в городе. Поскольку каждая линия может иметь пересечение с каждой другой линией, нам нужно рассмотреть комбинации для каждой пары из 100 линий. Чтобы рассчитать количество комбинаций, мы можем использовать формулу сочетаний.

Формула сочетаний: \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\)

Где \(n\) - количество элементов в наборе, а \(k\) - количество элементов в каждой комбинации.

В данном случае нам нужно найти количество комбинаций из 100 линий метро, поэтому \(n = 100\). Чтобы найти количество комбинаций для каждой пары линий (то есть количество общих пересадочных станций), мы должны определить, сколько пар линий есть. Формулу сочетаний можно использовать для этого, заменяя \(k\) на 2.

Количество комбинаций для каждой пары линий: \(C(100, 2) = \frac{{100!}}{{2!(100-2)!}}\)

Когда мы рассчитаем значение, мы получим число комбинаций, которое определяет количество общих пересадочных станций, необходимых для соединения 100 линий метро.

Теперь давайте перейдем ко второй части вопроса, где требуется найти количество станций, на которых пересекаются три линии метро.

Для этого мы можем использовать сочетания с повторениями. Формула для вычисления количества сочетаний с повторениями выглядит следующим образом:

Количество сочетаний с повторениями: \(C(n + k - 1, k)\)

Где \(n\) - количество элементов, а \(k\) - количество элементов в композиции.

В данном случае нам нужно определить количество сочетаний из трех линий метро, поэтому \(n = 3\). Мы должны также учесть, что одна станция может быть пересечением трех линий, поэтому \(k = 1\).

Количество станций с тремя пересекающимися линиями: \(C(3 + 1 - 1, 1) = C(3, 1) = \frac{{3!}}{{1!(3-1)!}}\)

Вычислив это значение, мы получим количество станций, на которых пересекаются три линии метро.

Таким образом, чтобы соединить 100 линий метро, необходимо построить количество общих пересадочных станций, определяемое числом комбинаций \(C(100, 2)\). А количество станций, на которых пересекаются три линии, определяется числом комбинаций \(C(3, 1)\).