Сколько натуральных x, y, z есть, таких что НОД(x; y; z) = 735? (В ответе укажи только число!

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться факторизацией числа 735 и применить принцип включения-исключения.

Сначала разложим число 735 на простые множители: 735 = 3^1 * 5^1 * 7^2.

Так как НОД(x, y, z) = 735, каждое из чисел x, y, z должно делиться на 3, 5 и 7.

Введем обозначения: пусть a = 3^x, b = 5^y и c = 7^z, где x, y, z - некоторые натуральные числа.

Тогда получаем задачу: найти количество натуральных чисел x, y, z таких, что a * b * c = 3^x * 5^y * 7^z = 735.

Разложим число 735 на простые множители: 735 = 3^1 * 5^1 * 7^2.

Теперь рассмотрим каждую из простых множителей отдельно.

1) Для простого множителя 3:
Так как a, b и c должны быть степенями числа 3, возможны следующие варианты: a = 3^0, b = 3^0 и c = 3^1; a = 3^1, b = 3^0 и c = 3^0; a = 3^0, b = 3^1 и c = 3^0; a = 3^1, b = 3^1 и c = 3^0; a = 3^1, b = 3^0 и c = 3^1; a = 3^0, b = 3^1 и c = 3^1; a = 3^1, b = 3^1 и c = 3^1.

Итак, для множителя 3 имеем 7 вариантов.

2) Для простого множителя 5:
Аналогично рассуждая, получаем такие варианты: a = 5^0, b = 5^0 и c = 5^1; a = 5^1, b = 5^0 и c = 5^0; a = 5^0, b = 5^1 и c = 5^0; a = 5^1, b = 5^1 и c = 5^0; a = 5^1, b = 5^0 и c = 5^1; a = 5^0, b = 5^1 и c = 5^1; a = 5^1, b = 5^1 и c = 5^1.

Итак, для множителя 5 имеем 7 вариантов.

3) Для простого множителя 7:
Аналогично рассуждая, получаем такие варианты: a = 7^0, b = 7^0 и c = 7^2; a = 7^1, b = 7^0 и c = 7^1; a = 7^0, b = 7^1 и c = 7^1; a= 7^1, b = 7^1 и c = 7^1.

Итак, для множителя 7 имеем 4 варианта.

Теперь применим принцип включения-исключения.

Общее количество вариантов будет равно произведению количества вариантов для каждого множителя: 7 * 7 * 4 = 196.

Таким образом, количество натуральных чисел x, y, z таких, что НОД(x; y; z) = 735, равно 196. Ответ: 196.