Сколько натуральных чисел n больше 900 существует, если числа 3 n + 900, n + 15 и 2 n являются четырехзначными

Для решения этой задачи, давайте найдем все значения n, которые удовлетворяют условию.

У нас есть три четырехзначных числа: 3n + 900, n + 15 и 2n.

Давайте рассмотрим первое четырехзначное число 3n + 900.

Зная, что это число четырехзначное, можно составить следующее неравенство:

1000 ≤ 3n + 900 < 10000

Вычтем 900 из обоих частей неравенства:

100 ≤ 3n < 9100

Теперь разделим обе части неравенства на 3:

\(\frac{100}{3} ≤ n < \frac{9100}{3}\)

33.33 ≤ n < 3033.33

Так как мы ищем натуральные числа, n должно быть больше 33.33, но меньше или равно 3033.33.

Перейдем ко второму четырехзначному числу n + 15.

Также составим неравенство для этого числа:

1000 ≤ n + 15 < 10000

Вычтем 15 из обоих частей неравенства:

985 ≤ n < 9985

Для третьего четырехзначного числа 2n нет необходимости составлять неравенство, потому что оно зависит от значений n, которые мы найдем из предыдущих неравенств.

Теперь обратим внимание на условие задачи: все три четырехзначных числа должны быть равны.

Посмотрим на интервалы значений, которые мы нашли для каждого числа:

\(\frac{100}{3} ≤ n < \frac{9100}{3}\) - интервал для числа 3n + 900

985 ≤ n < 9985 - интервал для числа n + 15

Искомое значение n должно быть в пересечении этих двух интервалов, чтобы все числа были одинаковыми.

Теперь давайте найдем это пересечение.

Интересующие нас значения n будут лежать в интервале от максимального нижнего предела до минимального верхнего предела:

max\(\{\frac{100}{3}, 985\}\) ≤ n ≤ min\(\{\frac{9100}{3}, 9985\}\)

max\(\{\frac{100}{3}, 985\}\) ≈ 985

min\(\{\frac{9100}{3}, 9985\}\) ≈ 3033.33

Таким образом, мы находимся в интервале значений \(985 \leq n \leq 3033.33\).

Теперь, чтобы найти количество натуральных чисел n, которые больше 900 и удовлетворяют условию, мы должны найти количество натуральных чисел в этом интервале.

Так как это неравенство с открытыми концами, округлим значение наименьшего целого числа, удовлетворяющего условию:

985 <= n <= 3033

Таким образом, у нас есть \(3033 - 985 + 1\) натуральных чисел, удовлетворяющих условию.

Вычислим это:

\(3033 - 985 + 1 = 2049\)

Итак, существует 2049 натуральных чисел n, больших 900, удовлетворяющих заданным условиям.