Сколько мальчиков и девочек можно выбрать для генеральной уборки школы из класса, состоящего из 12 мальчиков

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать комбинаторику и применить правило сложения.

У нас есть две выборки: выборка мальчиков и выборка девочек. Мы должны определить, сколько всего уникальных комбинаций разных чисел мальчиков и девочек можно выбрать для генеральной уборки школы.

Для начала, давайте рассмотрим выборку мальчиков. У нас есть 12 мальчиков, и мы хотим выбрать от 0 до 12 мальчиков. Здесь мы можем использовать комбинаторный подход и применить биномиальный коэффициент:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! (n - k)!}}
\]

Где \(n\) - общее количество элементов в выборке (в данном случае 12 мальчиков), а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем для генеральной уборки (от 0 до 12).

Теперь давайте рассмотрим выборку девочек. Аналогично, у нас есть 15 девочек, и мы хотим выбрать от 0 до 15 девочек.

Значит, общее количество комбинаций будет равно сумме всех возможных комбинаций мальчиков и девочек:

\[
\sum_{k=0}^{12} C(12, k) \cdot C(15, (12-k))
\]

Теперь давайте пошагово вычислим это:

\[
C(12, 0) = \frac{{12!}}{{0! (12-0)!}} = 1
\]
\[
C(12, 1) = \frac{{12!}}{{1! (12-1)!}} = 12
\]
\[
C(12, 2) = \frac{{12!}}{{2! (12-2)!}} = 66
\]
...
\[
C(12, 12) = \frac{{12!}}{{12! (12-12)!}} = 1
\]

Теперь посчитаем комбинации для выборки девочек:

\[
C(15, 0) = \frac{{15!}}{{0! (15-0)!}} = 1
\]
\[
C(15, 1) = \frac{{15!}}{{1! (15-1)!}} = 15
\]
\[
C(15, 2) = \frac{{15!}}{{2! (15-2)!}} = 105
\]
...
\[
C(15, 15) = \frac{{15!}}{{15! (15-15)!}} = 1
\]

Теперь добавим все эти комбинации вместе:

\[
\sum_{k=0}^{12} C(12, k) \cdot C(15, (12-k)) = 1 + 12 + 66 + ... + 1
\]

Подсчитаем эту сумму:

\[
\sum_{k=0}^{12} C(12, k) \cdot C(15, (12-k)) = 1956
\]

Итак, мы можем выбрать 1956 разных комбинаций мальчиков и девочек для генеральной уборки школы из класса, состоящего из 12 мальчиков и 15 девочек.