Сколько максимально возможно попарно различных прямоугольников можно получить, разрезая шахматную доску размером 8

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим каждый возможный прямоугольник, который можно получить, разрезая шахматную доску.

Мы знаем, что размер доски составляет 8 на 8 клеток, то есть у нас есть 8 вертикальных линий и 8 горизонтальных линий.

Давайте рассмотрим количество прямоугольников, которые можно получить, используя только одну вертикальную и одну горизонтальную линию.

На доске размером 8 на 8 клеток есть 9 вертикальных линий и 9 горизонтальных линий. Всего у нас есть 9 возможных положений для вертикальной линии и 9 возможных положений для горизонтальной линии.

Таким образом, мы можем получить \(9 \times 9 = 81\) прямоугольник, используя только одну вертикальную и одну горизонтальную линию.

Далее, давайте рассмотрим количество прямоугольников, которые можно получить, используя две вертикальные и две горизонтальные линии.

Для этого нам нужно выбрать два вертикальных столбца из 9 возможных и две горизонтальных линии из 9 возможных. Количество способов выбрать эти линии равно \({9 \choose 2} \times {9 \choose 2} = 36 \times 36 = 1296\).

Таким образом, мы можем получить 1296 прямоугольников, используя две вертикальные и две горизонтальные линии.

Продолжая аналогичным образом, мы можем рассмотреть количество прямоугольников, которые можно получить, используя три, четыре, пять, шесть, семь или восемь вертикальных и горизонтальных линий.

Суммируя все полученные результаты, мы найдем итоговое количество прямоугольников, которые можно получить, разрезая шахматную доску размером 8 на 8 клеток.

Подводя итог, максимальное количество попарно различных прямоугольников, которые можно получить, разрезая такую доску, равно сумме всех прямоугольников:

\(81 + 1296 + ... + \text{(количество прямоугольников, полученных с использованием восьми вертикальных и горизонтальных линий)} = \text{итоговое количество}\)