Сколько квадратов размером 2×2 с заданной раскраской можно получить, вырезав из этой доски (с возможностью

Для решения этой задачи нам необходимо учитывать условие о возможности поворота квадратов. Предположим, у нас есть прямоугольная доска размером \(m\) на \(n\) клеток, и все клетки на доске окрашены в два цвета (назовем их цвет 1 и цвет 2). Наша задача состоит в том, чтобы определить количество квадратов размером 2×2 с заданной раскраской, которые можно получить, вырезав из этой доски.

Давайте рассмотрим случай, когда и \(m\), и \(n\) являются четными числами. Тогда мы можем доказать, что количество квадратов размером 2×2 равно произведению половины количества клеток одного цвета на половину количества клеток другого цвета.

Доказательство:

Предположим, что у нас есть \(a\) клеток первого цвета и \(b\) клеток второго цвета, где \(a\) и \(b\) - четные числа. Тогда мы можем разделить доску на \(a/2\) блоков, каждый из которых содержит две клетки первого цвета, и \(b/2\) блоков, каждый из которых содержит две клетки второго цвета. Каждый из этих блоков может быть покрыт одним квадратом размером 2×2.

Таким образом, общее количество квадратов размером 2×2 будет равно \(a/2 \times b/2 = ab/4\).

Предположим теперь, что и \(m\), и \(n\) являются нечетными числами. В этом случае мы можем разделить доску на две части, одну с четным количеством клеток и другую с нечетным количеством клеток. Так как у нас нет достаточного количества клеток для образования полного квадрата 2×2, ответ на эту задачу будет равен 0.

Окончательно, ответ на задачу "Сколько квадратов размером 2×2 с заданной раскраской можно получить, вырезав из этой доски?" будет равен \(ab/4\), где \(a\) - количество клеток первого цвета, а \(b\) - количество клеток второго цвета.