Сколько квадратов размером 2×2 с заданной раскраской можно получить, вырезав из этой доски (с возможностью

Для решения этой задачи нам необходимо учитывать условие о возможности поворота квадратов. Предположим, у нас есть прямоугольная доска размером $m$ на $n$ клеток, и все клетки на доске окрашены в два цвета (назовем их цвет 1 и цвет 2). Наша задача состоит в том, чтобы определить количество квадратов размером 2×2 с заданной раскраской, которые можно получить, вырезав из этой доски.

Давайте рассмотрим случай, когда и $m$, и $n$ являются четными числами. Тогда мы можем доказать, что количество квадратов размером 2×2 равно произведению половины количества клеток одного цвета на половину количества клеток другого цвета.

Доказательство:

Предположим, что у нас есть $a$ клеток первого цвета и $b$ клеток второго цвета, где $a$ и $b$ - четные числа. Тогда мы можем разделить доску на $a/2$ блоков, каждый из которых содержит две клетки первого цвета, и $b/2$ блоков, каждый из которых содержит две клетки второго цвета. Каждый из этих блоков может быть покрыт одним квадратом размером 2×2.

Таким образом, общее количество квадратов размером 2×2 будет равно $a/2\times b/2=ab/4$.

Предположим теперь, что и $m$, и $n$ являются нечетными числами. В этом случае мы можем разделить доску на две части, одну с четным количеством клеток и другую с нечетным количеством клеток. Так как у нас нет достаточного количества клеток для образования полного квадрата 2×2, ответ на эту задачу будет равен 0.

Окончательно, ответ на задачу "Сколько квадратов размером 2×2 с заданной раскраской можно получить, вырезав из этой доски?" будет равен $ab/4$, где $a$ - количество клеток первого цвета, а $b$ - количество клеток второго цвета.