Сколько кубиков среди распиленного куба 5x5x5, окрашенных: а) только с одной стороны; б) с двух сторон; в) с трёх

Для решения этой задачи нам понадобится представить себе куб из 125 маленьких кубиков, каждый из которых имеет размер 1x1x1.

а) Для того чтобы определить количество кубиков, окрашенных только с одной стороны, нам нужно посчитать, сколько кубиков находятся на гранях куба. У куба размером 5x5x5 есть 6 граней. Каждая грань состоит из 5x5 = 25 кубиков. Таким образом, общее количество кубиков на гранях равно 6x25 = 150 кубиков. Однако у нас есть пересечение угловых кубиков на гранях, которые окрашены на двух смежных сторонах. Их количество составляет 8 (2 кубика на каждом из 4 углов). Поэтому общее число кубиков, окрашенных только с одной стороны, равно 150 - 8 = 142 кубика.

б) Для того чтобы определить количество кубиков, окрашенных с двух сторон, мы должны посчитать количество кубиков, находящихся на гранях и ребрах (кроме угловых кубиков). Количество кубиков на гранях составляет 150 - 8 = 142 кубика (как мы уже выяснили в предыдущем пункте). Количество кубиков на ребрах равно 12 (4 ребра на каждой стороне, каждое ребро содержит 5 кубиков). Итого, общее количество кубиков, окрашенных с двух сторон, равно 142 + 12 = 154 кубика.

в) И, наконец, для того чтобы определить количество кубиков, окрашенных с трех сторон, нам нужно посчитать количество кубиков, находящихся на гранях, ребрах и углах (потому что угловые кубики окрашены с трех сторон). Количество кубиков на гранях и ребрах мы уже посчитали: 142 + 12 = 154 кубика. Количество угловых кубиков равно 8 (по два угловых кубика на каждую из 4 угловых точек). Итак, общее количество кубиков, окрашенных с трех сторон, равно 154 + 8 = 162 кубика.

Таким образом, итоговые ответы на поставленные вопросы:
а) Окрашено только с одной стороны: 142 кубика.
б) Окрашено с двух сторон: 154 кубика.
в) Окрашено с трех сторон: 162 кубика.