Сколько корней имеет уравнение √3+tgx/1−√3tgx=1 на интервале x∈[−π; 2π]? Каков наименьший из этих корней? Каков

Давайте решим данное уравнение пошагово.

1. Начнем с уравнения: \(\sqrt{3}+\frac{\tan x}{1-\sqrt{3}\tan x}=1\).

2. Приведем его к общему знаменателю, умножив каждое слагаемое на \(1-\sqrt{3}\tan x\):

\(\sqrt{3}(1-\sqrt{3}\tan x)+\tan x=1-\sqrt{3}\tan x\).

3. Раскроем скобки:

\(\sqrt{3}-3\tan x+\tan x=1-\sqrt{3}\tan x\).

4. Сократим одинаковые слагаемые:

\(\sqrt{3}-2\tan x=1-\sqrt{3}\tan x\).

5. Теперь перенесем все слагаемые, содержащие \(\tan x\), на одну сторону уравнения, а все остальные слагаемые на другую сторону:

\(\sqrt{3}-1=3\tan x-\sqrt{3}\tan x\).

6. Объединим коэффициенты при \(\tan x\):

\(\sqrt{3}-1=(3-\sqrt{3})\tan x\).

7. Разделим обе части уравнения на \(3-\sqrt{3}\):

\(\tan x=\frac{\sqrt{3}-1}{3-\sqrt{3}}\).

8. Выполним числовые вычисления в числителе и знаменателе:

\(\tan x=\frac{(\sqrt{3}-1)(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}\).

\(\tan x=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}+3-1}{9-3}\).

\(\tan x=\frac{2\sqrt{3}+2}{6}\).

\(\tan x=\frac{\sqrt{3}+1}{3}\).

9. Теперь возьмем арктангенс обеих частей уравнения:

\(x=\arctan\left(\frac{\sqrt{3}+1}{3}\right)\).

10. Найдем значение \(x\) в заданном интервале \([-π, 2π]\):

\(x=\arctan\left(\frac{\sqrt{3}+1}{3}\right) \approx 0.588\).

11. Для нахождения наименьшего и наибольшего корней нужно проанализировать уравнение в данном интервале и найти другие корни, если они есть.

12. Однако в данном случае уравнение имеет только одно решение на заданном интервале, а именно \(x \approx 0.588\).

Таким образом, данное уравнение имеет только один корень на интервале \(x \in [-\pi, 2\pi]\), и он равен примерно 0.588. Это и является и наименьшим и наибольшим корнем для данного уравнения на этом интервале.