Сколько команд участвовало в интеллектуальном многоборье, если каждая команда обменялась памятным подарком с каждой

Чтобы решить эту задачу, давайте изначально разберемся, какое количество команд участвовало в интеллектуальном многоборье. Допустим, у нас было n команд.

Затем мы знаем, что каждая команда обменялась памятным подарком с каждой другой командой. Предположим, что каждая команда обменялась подарком с каждой другой командой ровно один раз.

Теперь давайте посмотрим, сколько всего подарков было обменено. Если каждая команда обменивается подарком с каждой другой командой, то общее количество подарков будет равно числу сочетаний из n по 2 (так как каждая команда должна обменяться подарком с каждой другой командой).

Чтобы вычислить количество сочетаний из n по 2, мы можем использовать формулу для вычисления биномиального коэффициента:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

В данной задаче, n будет заменено на n и k будет заменено на 2.

\[C(n, 2) = \frac{{n!}}{{2! \cdot (n-2)!}} = \frac{{n!}}{{2 \cdot (n-2)!}}\]

Теперь мы знаем, что общее количество подарков равно выражению \(\frac{{n!}}{{2 \cdot (n-2)!}}\).

Однако в условии сказано, что количество подарков оказалось равным. Это значит, что выражение \(\frac{{n!}}{{2 \cdot (n-2)!}}\) должно быть равно n (количество команд).

Исходя из этого, мы можем записать уравнение:

\(\frac{{n!}}{{2 \cdot (n-2)!}} = n\)

Теперь давайте решим это уравнение. Упростим его, умножив обе части на 2:

\(n! = 2n \cdot (n-2)!\)

Разделим обе части на (n-2)!:

\(n = 2n\)

Отсюда следует:

\(n = 0\)

Таким образом, решение уравнения n = 0 означает, что количество команд равно нулю. Это означает, что в интеллектуальном многоборье не участвовала ни одна команда.

Вывод: В задаче не указано, сколько команд участвовало в интеллектуальном многоборье, поэтому такая ситуация, что количество команд равно нулю, возможна.