Сколько карточек находится в коробке, на которых представлены числа от 1 до 30? Какова вероятность выбора карточки

Чтобы решить эту задачу, мы сначала пошагово определим, сколько всего карточек находится в коробке, а затем рассчитаем вероятность выбора карточки, удовлетворяющей условию.

1. Определение количества карточек в коробке:
Для этого нам нужно узнать, сколько чисел от 1 до 30 включительно.

Можем заметить, что данные числа образуют арифметическую прогрессию с первым элементом 1 и последним элементом 30, поэтому мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2}(a + b)\]

где \(S\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество элементов прогрессии, \(a\) - первый элемент прогрессии, \(b\) - последний элемент прогрессии.

Применяя формулу, получим:

\[S = \frac{30}{2}(1 + 30) = 15 \cdot 31 = 465\]

Таким образом, в коробке находится 465 карточек с числами от 1 до 30.

2. Расчет вероятности выбора карточки, где число делится на 7:
Чтобы определить количество карточек с числами, которые делятся на 7, мы можем разделить последний элемент прогрессии (30) на 7 и округлить полученное значение вниз (по принципу математического округления). Далее, нам нужно разделить это значение на общее количество карточек в коробке.

Определим количество чисел, делящихся на 7:

\[n = \left\lfloor\frac{30}{7}\right\rfloor = 4\]

Теперь, чтобы найти вероятность выбора карточки с числом, которое делится на 7, мы разделим количество карточек, удовлетворяющих условию, на общее количество карточек:

\[P(\text{делится на 7}) = \frac{n}{465} = \frac{4}{465}\]

Поэтому вероятность выбора карточки, где число делится на 7, составляет \(\frac{4}{465}\).

3. Расчет вероятности выбора карточки, где число не является кратным ни 2, ни 3:
Для решения этой части задачи мы должны узнать, сколько чисел в диапазоне от 1 до 30 являются кратными 2 или 3. Затем мы вычтем это значение из общего количества карточек и разделим на общее количество карточек.

Количество чисел, кратных 2:
Мы можем заметить, что четные числа образуют арифметическую прогрессию с первым элементом 2 и разницей в 2 между соседними числами. Значит, количество чисел, кратных 2, можно посчитать так:

\[n_2 = \left\lfloor\frac{30-2}{2}\right\rfloor + 1 = \left\lfloor\frac{28}{2}\right\rfloor + 1 = 14 + 1 = 15\]

Количество чисел, кратных 3:
Аналогично, числа, кратные 3, образуют арифметическую прогрессию с первым элементом 3 и разницей в 3 между соседними числами. Значит, количество чисел, кратных 3, можно посчитать так:

\[n_3 = \left\lfloor\frac{30-3}{3}\right\rfloor + 1 = \left\lfloor\frac{27}{3}\right\rfloor + 1 = 9 + 1 = 10\]

Общее количество чисел, кратных 2 или 3:
Чтобы определить, сколько чисел в диапазоне от 1 до 30 являются кратными 2 или 3, нам нужно сложить количество чисел, кратных 2, и количество чисел, кратных 3, и вычесть количество чисел, кратных и 2, и 3 одновременно. Итак, будем иметь:

\[n_{2 \cup 3} = n_2 + n_3 - n_{2 \cap 3}\]

Здесь \(n_{2 \cap 3}\) - количество чисел, кратных и 2, и 3 одновременно. Чтобы его найти, мы можем рассмотреть общую прогрессию с первым элементом 6 и разницей в 6 между соседними числами (так как 6 является наименьшим числом, кратным и 2, и 3). Тогда:

\[n_{2 \cap 3} = \left\lfloor\frac{30-6}{6}\right\rfloor + 1 = \left\lfloor\frac{24}{6}\right\rfloor + 1 = 4 + 1 = 5\]

Теперь мы можем вычислить общее количество чисел, не являющихся кратными ни 2, ни 3:

\[n_{\text{не кратно 2 или 3}} = 30 - n_{2 \cup 3}\]

\[= 30 - (n_2 + n_3 - n_{2 \cap 3})\]

\[= 30 - (15 + 10 - 5) = 30 - 20 = 10\]

Теперь мы можем рассчитать вероятность выбора карточки, где число не является кратным ни 2, ни 3:

\[P(\text{не кратно 2 или 3}) = \frac{n_{\text{не кратно 2 или 3}}}{465} = \frac{10}{465}\]

Таким образом, вероятность выбора карточки, где число не является кратным ни 2, ни 3, составляет \(\frac{10}{465}\).

В результате, мы рассчитали вероятность выбора карточки с числом, которое делится на 7 (\(\frac{4}{465}\)) и вероятность выбора карточки, где число не является кратным ни 2, ни 3 (\(\frac{10}{465}\)).