Под какими значениями х и у фирма получит максимальную прибыль от продажи товаров, при условии, что фирма может

Для решения данной задачи нам необходимо найти значения переменных x и y, при которых фирма получит максимальную прибыль от продажи товаров.

Прибыль от продажи товаров рассчитывается как разность между выручкой и затратами. Выручка определяется как произведение количества проданных товаров на их цену, то есть \(Выручка = p_1 \cdot x + p_2 \cdot y\), где \(p_1=20\) и \(p_2=30\) - цены на товары x и y соответственно.

Затраты на производство задаются уравнением \(c(x, y) = x^2 + 4y\), и они должны быть ограничены значением 400.

Таким образом, задачу можно сформулировать как максимизацию функции прибыли \(Прибыль = Выручка - Затраты\) при наличии ограничений на переменные x и y.

Мы можем использовать метод Лагранжа для поиска экстремума функции \(Прибыль\) при ограничениях \(c(x, y) \leq 400\), \(x \leq 20\), и \(y \leq 6\).

Для этого составим функцию Лагранжа:
\[L(x, y, \lambda) = (p_1 \cdot x + p_2 \cdot y) - \lambda \cdot (c(x, y) - 400)\]

Здесь \(\lambda\) - множитель Лагранжа.

Далее найдем частные производные по x, y и \(\lambda\), приравняем их к нулю и решим полученную систему уравнений.

\[\frac{{\partial L}}{{\partial x}} = p_1 - 2x\lambda = 0\]
\[\frac{{\partial L}}{{\partial y}} = p_2 - 4y\lambda = 0\]
\[\frac{{\partial L}}{{\partial \lambda}} = 400 - c(x, y) = 0\]

Решим данную систему уравнений:

Из первого уравнения получаем: \(x = \frac{{p_1}}{{2\lambda}}\)

Из второго уравнения получаем: \(y = \frac{{p_2}}{{4\lambda}}\)

Подставим эти значения x и y в уравнение для затрат и получим: \(c(\frac{{p_1}}{{2\lambda}}, \frac{{p_2}}{{4\lambda}}) = \frac{{p_1^2}}{{4\lambda^2}} + \frac{{p_2}}{{\lambda}}\)

Выразим \(\lambda\) из уравнения для затрат при помощи полученной формулы для затрат:

\(\frac{{p_1^2}}{{4\lambda^2}} + \frac{{p_2}}{{\lambda}} = 400\)

Упростим это уравнение:

\(p_1^2 + 4 p_2 \lambda = 1600\)

\(\lambda = \frac{{1600}}{{4 p_2 + p_1^2}}\)

Подставим найденное значение \(\lambda\) обратно в формулы для x и y:

\(x = \frac{{p_1}}{{2\lambda}} = \frac{{2p_1}}{{4 p_2 + p_1^2}}\)

\(y = \frac{{p_2}}{{4\lambda}} = \frac{{p_2}}{{4(4 p_2 + p_1^2)}}\)

Теперь мы можем подставить значения \(p_1 = 20\) и \(p_2 = 30\) в полученные формулы и найти значения x и y.