Сколько имеется 8-значных натуральных чисел, где каждая цифра, за исключением первой и последней, равна умножению

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Предположим, что мы ищем количество 8-значных чисел, где каждая цифра, кроме первой и последней, равна произведению соседних с ней цифр.

Для начала, определим, какие значения могут принимать цифры в нашем числе. Мы знаем, что каждая цифра, кроме первой и последней, должна быть равна произведению соседних с ней цифр. Значит, каждая из этих цифр может быть либо 0, либо 1, либо 2, либо 3, либо 4, либо 5, либо 6, либо 7, либо 8, либо 9, так как это десятичные цифры.

Теперь, чтобы посчитать количество таких чисел, давайте рассмотрим возможные варианты для каждой из цифр.

1) Если первая цифра равна 0 или 1, то у нее есть только один сосед — следующая цифра. Значит, вторая цифра должна быть равна 0 или 1. Таким образом, у нас есть 2 варианта для выбора первой цифры и 2 варианта для выбора второй цифры.

2) Если первая цифра равна 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9, у нее есть два соседа — предыдущая и следующая цифры. Значит, предыдущая и следующая цифры должны быть такими, что их произведение равно текущей цифре. Например, если первая цифра равна 2, то предыдущая и следующая цифры могут быть 1 и 2, соответственно. Таким образом, у нас есть 1 вариант для выбора первой цифры и 1 вариант для выбора предыдущей и следующей цифр, если первая цифра равна 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9.

Итак, для каждой цифры, кроме первой и последней, есть определенное количество вариантов выбора. Для первой и последней цифр количество вариантов выбора немного иначе, так как у них только один сосед. Давайте это учтем.

3) Первая цифра может иметь 10 различных значений, поскольку она может быть любой десятичной цифрой от 0 до 9.

4) Последняя цифра также может иметь 10 различных значений, поскольку она также может быть любой десятичной цифрой от 0 до 9.

Теперь мы можем перемножить все варианты выбора цифр для получения общего количества чисел. Суммируя варианты выбора для каждой цифры, мы получим общее количество возможных чисел.

Общее количество 8-значных чисел, где каждая цифра, кроме первой и последней, равна произведению соседних с ней цифр, можно рассчитать следующим образом:

\(10 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 10 = 4000\)

Таким образом, имеется 4000 различных восьмизначных чисел, где каждая цифра, кроме первой и последней, равна произведению соседних с ней цифр.