Сколько гномов может быть в бригаде, чтобы Мерлину выгоднее было иметь дело с ними, если он планирует прокопать тайный

Для решения этой задачи нам необходимо определить, сколько гномов и сколько гоблинов должно быть в бригаде, чтобы Мерлину было выгоднее иметь дело с гномами.

Пусть \(n\) - количество гномов в бригаде.
Тогда сумма, которую гномы возьмут за прокопанный туннель, может быть выражена следующим образом:

\(S_{\text{гномы}} = 70 \cdot 1 + 84 \cdot 1 + 98 \cdot 1 + \ldots + (70 + (n-1) \cdot 14) \cdot 1\)

Для удобства вычислений, можем записать эту сумму как:

\(S_{\text{гномы}} = 70(1 + 2 + 3 + \ldots + n) + 14(1 + 2 + 3 + \ldots + n)\)

Пользуясь формулой суммы первых \(n\) натуральных чисел, получим:

\(S_{\text{гномы}} = 70 \cdot \frac{{n(n+1)}}{2} + 14 \cdot \frac{{n(n+1)}}{2}\)

Теперь добавим расходы на угощение и премии для гномов:

\(S_{\text{гномы}} = 70 \cdot \frac{{n(n+1)}}{2} + 14 \cdot \frac{{n(n+1)}}{2} + 80n + 920n\)

Теперь рассмотрим случай с гоблинами.
Аналогично, обозначим через \(m\) количество гоблинов в бригаде.

\(S_{\text{гоблины}} = 100 \cdot 1 + 115 \cdot 1 + 130 \cdot 1 + \ldots + (100 + (m-1) \cdot 15) \cdot 1\)

Также для удобства вычислений, можем записать эту сумму как:

\(S_{\text{гоблины}} = 100(1 + 2 + 3 + \ldots + m) + 15(1 + 2 + 3 + \ldots + m)\)

Снова используем формулу суммы первых \(m\) натуральных чисел:

\(S_{\text{гоблины}} = 100 \cdot \frac{{m(m+1)}}{2} + 15 \cdot \frac{{m(m+1)}}{2}\)

Теперь добавим расходы на угощение и премии для гоблинов:

\(S_{\text{гоблины}} = 100 \cdot \frac{{m(m+1)}}{2} + 15 \cdot \frac{{m(m+1)}}{2} + 80m + 920m\)

Теперь нам нужно сравнить общую стоимость гномов и гоблинов и выбрать то количество, при котором Мерлину будет выгоднее.

Итак, мы должны решить неравенство:

\(S_{\text{гномы}} < S_{\text{гоблины}}\)

Подставим значения сумм \(S_{\text{гномы}}\) и \(S_{\text{гоблины}}\) в неравенство:

\(70 \cdot \frac{{n(n+1)}}{2} + 14 \cdot \frac{{n(n+1)}}{2} + 80n + 920n < 100 \cdot \frac{{m(m+1)}}{2} + 15 \cdot \frac{{m(m+1)}}{2} + 80m + 920m\)

Раскроем скобки и упростим:

\(42n^2 + 42n + 100n + 920n + 1400 < 50m^2 + 50m + 1920m + 1400\)

Соберём все слагаемые в одну часть:

\(42n^2 + 42n + 100n + 920n + 1400 - 50m^2 - 50m - 1920m - 1400 < 0\)

Упростим еще раз:

\(42n^2 + 62n + 1020n - 50m^2 - 1970m < 0\)

Рассмотрим случай, когда такая ситуация имеет место. Перепишем неравенство с коэффициентами в порядке возрастания степеней:

\(-50m^2 - 1970m + 42n^2 + 1020n + 62n < 0\)

Теперь давайте решим это неравенство по отдельности. Сначала рассмотрим квадратное уравнение вида:

\(42n^2 + 1020n + 62n = 0\)

Применим квадратное уравнение, чтобы найти значения \(n\):

\[42n^2 + 1082n = 0\]
\[2n(21n + 541) = 0\]

Таким образом, получаем два варианта для \(n\):

1. \(n = 0\)
2. \(21n + 541 = 0\)

Решив второе уравнение, найдем:

\[21n = -541\]
\[n = \frac{-541}{21}\]

Теперь рассмотрим квадратное уравнение вида:

\(-50m^2 - 1970m = 0\)

Применим квадратное уравнение, чтобы найти значения \(m\):

\[-50m^2 - 1970m = 0\]
\[-10m(m+197) = 0\]

Поэтому, получаем два варианта для \(m\):

1. \(m = 0\)
2. \(m + 197 = 0\)

Решив второе уравнение, найдем:

\[m = -197\]

Таким образом, получаем возможные значения для \(n\) и \(m\):

1. \(n = 0\) и \(m = 0\)
2. \(n = \frac{-541}{21}\) и \(m = -197\)

В данном случае, при отрицательных значениях \(n\) или \(m\) смысловое значение отсутствует, так как мы рассматриваем количество гномов и гоблинов, которые должны быть положительными целыми числами.

Таким образом, ответ на задачу: в бригаде должно быть 0 гномов и 0 гоблинов, чтобы Мерлину было выгоднее.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для школьника. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.