Сколько должна быть новая мощность насоса p2 (квт), чтобы высота фонтана оставалась прежней после увеличения длины

Для решения этой задачи мы будем использовать закон сохранения энергии.

Первоначально, фонтан поддерживает определенную высоту за счет работы насоса. Работа, совершаемая насосом, равна разности потенциальных энергий до и после подачи воды в фонтан.

Давайте обозначим мощность насоса до изменения длины трубы как \(p_1\), высоту фонтана -- \(h_1\), а после изменения длины трубы -- \(h_2\).

Так как потери из-за трения можно пренебречь, то работа, совершаемая насосом в обоих случаях, будет равна.

Работа насоса до изменения длины трубы:
\[W_1 = p_1 \cdot t_1 = m \cdot g \cdot h_1\]

Работа насоса после изменения длины трубы:
\[W_2 = p_2 \cdot t_2 = m \cdot g \cdot h_2\]

Здесь \(m\) -- масса воды, перемещаемой насосом и \(t_1\) и \(t_2\) -- времена подачи воды насосом.

Так как работа насоса должна быть одинаковой, мы можем записать:
\[m \cdot g \cdot h_1 = m \cdot g \cdot h_2\]

Масса воды \(m\) будет одинаковой в обоих случаях, поэтому можем сократить её:
\[g \cdot h_1 = g \cdot h_2\]

Теперь давайте учтем, что высоту фонтана после изменения длины трубы можно выразить через первоначальную высоту и изменение длины трубы:
\[h_2 = h_1 + \Delta h\]

Подставим это в уравнение:
\[g \cdot h_1 = g \cdot (h_1 + \Delta h)\]

Раскроем скобки:
\[g \cdot h_1 = g \cdot h_1 + g \cdot \Delta h\]

Отсюда получаем, что:
\[g \cdot \Delta h = 0\]

Теперь обратимся к определению \(\Delta h\) -- изменение высоты фонтана, которое равно увеличению длины трубы \(h\) на 1 метр. То есть:
\[\Delta h = 1\]

Подставим это значение обратно в уравнение:
\[g \cdot \Delta h = g \cdot 1 = g = p_2 \cdot t_2\]

Окончательно, выразим мощность насоса \(p_2\):
\[p_2 = \frac{g}{t_2}\]

Таким образом, чтобы высота фонтана оставалась прежней после увеличения длины трубы, мощность насоса должна быть равна \(\frac{g}{t_2}\), где \(g\) -- ускорение свободного падения (10 м/с\(^2\)), а \(t_2\) -- время подачи воды насосом.