Сколько дней потребуется, чтобы достичь максимальной продолжительности курса грязевых ванн, которая равна 1 часу

Для решения этой задачи нам потребуется найти количество дней, которое потребуется, чтобы достичь максимальной продолжительности курса грязевых ванн равной 1 часу 35 минут в день.

Дано:
- В первый день продолжительность ванн составляет 5 минут.
- Каждый последующий день продолжительность увеличивается на одинаковое количество минут.
- Продолжительность ванн в восьмой день в 5 раз больше, чем во второй день.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать простую алгебру.

Пусть х - количество минут, на которое продолжительность ванн увеличивается ежедневно.

Продолжительность ванн во второй день: 5 + х минут.
Продолжительность ванн в восьмой день: (5 + х) + 7х минут.

Зная, что продолжительность восьмого дня в 5 раз больше продолжительности второго дня, мы можем записать уравнение:
(5 + х) + 7х = 5 * (5 + х).

Раскроем скобки и упростим уравнение:
5 + х + 7х = 25 + 5х.
8х = 20 + 5х.
3х = 20.

Разделив обе стороны уравнения на 3, получим:
х = \(\frac{20}{3}\).

Теперь мы знаем, на сколько минут увеличивается продолжительность ванн каждый день, осталось найти количество дней, которое потребуется, чтобы достичь максимальной продолжительности курса грязевых ванн (1 час 35 минут = 95 минут).

Обозначим количество дней, которое потребуется, как n.

Тогда продолжительность курса грязевых ванн можно выразить следующим образом:
5 + (5 + \(\frac{20}{3}\)) + (5 + 2 * \(\frac{20}{3}\)) + ... + (5 + (n-1) * \(\frac{20}{3}\)).

Мы хотим, чтобы сумма этих величин была равна 95:
5 + (5 + \(\frac{20}{3}\)) + (5 + 2 * \(\frac{20}{3}\)) + ... + (5 + (n-1) * \(\frac{20}{3}\)) = 95.

Используя формулу арифметической прогрессии, сумму подобных членов можно выразить по формуле:
S = (n * (a1 + an)) / 2,

где S - сумма, n - количество членов, a1 - первый член, an - последний член.

В нашем случае a1 = 5, an = 5 + (n-1) * \(\frac{20}{3}\).

Подставив все в формулу, получим:
(n * (5 + (5 + (n-1) * \(\frac{20}{3}\)))) / 2 = 95.

Упростим выражение:
(2n * (10 + (n-1) * \(\frac{20}{3}\))) = 190.

Раскроем скобки и упростим уравнение:
20n + 20(n-1) = 285.

Раскроем скобки и упростим выражение:
20n + 20n - 20 = 285.

Соберем все члены с n влево и все остальные вправо:
40n = 305.

Разделим обе стороны на 40:
n = \(\frac{305}{40}\).

Делим 305 на 40 и получаем:
n = 7.625.

Таким образом, для достижения максимальной продолжительности курса грязевых ванн (1 час 35 минут), потребуется около 7.625 дней. Мы не можем иметь нецелое количество дней, поэтому тогда нам нужно округлить это значение вверх до ближайшего целого числа и получим, что для достижения максимальной продолжительности потребуется 8 дней.