Сколько дней бригада маляров красила весь забор длиной 630 метров, если они ежедневно увеличивали норму покраски

Пусть количество дней, которое бригада маляров потратила на покраску всего забора, равно \(n\). Мы знаем, что за первый и последний день в сумме они покрасили 140 метров забора.

Также дано, что они ежедневно увеличивали норму покраски на одинаковое количество метров. Обозначим это количество как \(x\).

Таким образом, в первый день они покрасили \(x\) метров забора, а в последний день они покрасили \((x + n - 1)\) метров забора.

Так как в сумме за первый и последний день было покрашено 140 метров, то получаем уравнение:

\[x + (x + n - 1) = 140.\]

Суммируя коэффициенты при \(x\) и перемещая термин справа налево, получаем:

\[2x + n - 1 = 140.\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \(x\):

\[2x = 140 - n + 1.\]

Исключая \(n\) и решая уравнение, мы получаем:

\[2x = 141 - n.\]

\[x = \frac{{141 - n}}{{2}}.\]

Таким образом, мы определили, что ежедневно бригада маляров покрасила \(\frac{{141 - n}}{{2}}\) метров забора.

Теперь нам необходимо выразить \(n\) через длину забора. Мы знаем, что длина забора равна 630 метрам. Так как они ежедневно увеличивали норму покраски на одинаковое количество метров, мы можем написать уравнение:

\[\frac{{141 - n}}{{2}} \cdot n = 630.\]

Умножая обратно, мы получаем:

\[(141 - n) \cdot n = 2 \cdot 630.\]

Раскрывая скобки и приведя подобные слагаемые, мы получаем квадратное уравнение:

\[n^2 - 141n + 2 \cdot 630 = 0.\]

Приведем его к стандартному виду:

\[n^2 - 141n + 1260 = 0.\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию. Здесь легче воспользоваться факторизацией.

Найдем два числа, сумма которых равна -141, а произведение равно 1260. Подумав, мы можем найти, что эти числа -60 и -21. Таким образом, уравнение может быть записано как:

\[(n - 60)(n - 21) = 0.\]

Это значит, что \(n - 60 = 0\) или \(n - 21 = 0\).

Из первого уравнения получаем \(n = 60\), а из второго уравнения получаем \(n = 21\).

Следовательно, у нас есть два возможных варианта: бригада маляров могла потратить 60 дней или 21 день на покраску всего забора, в зависимости от их ежедневного увеличения нормы покраски.

Надеюсь, эта подробная разборка позволила вам понять решение задачи.