Сколько чисел от 0 до 999 не кратны ни 2, ни 3, ни 5

Чтобы решить данную задачу, мы должны вычислить количество чисел от 0 до 999, которые не делятся на 2, 3 и 5. Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Определение количества чисел, делящихся на 2
Все числа, которые делятся на 2, являются четными числами. Для того чтобы определить количество чисел от 0 до 999, делящихся на 2, мы можем разделить 999 на 2 и округлить результат в меньшую сторону, чтобы получить ближайшее целое число. Поэтому получаем:

\[ \text{Количество чисел, делящихся на 2} = \left\lfloor \frac{999}{2} \right\rfloor = 499 \]

Шаг 2: Определение количества чисел, делящихся на 3
Для того чтобы определить количество чисел от 0 до 999, делящихся на 3, мы можем разделить 999 на 3 и округлить результат в меньшую сторону. Поэтому получаем:

\[ \text{Количество чисел, делящихся на 3} = \left\lfloor \frac{999}{3} \right\rfloor = 333 \]

Шаг 3: Определение количества чисел, делящихся на 5
Для того чтобы определить количество чисел от 0 до 999, делящихся на 5, мы можем разделить 999 на 5 и округлить результат в меньшую сторону. Поэтому получаем:

\[ \text{Количество чисел, делящихся на 5} = \left\lfloor \frac{999}{5} \right\rfloor = 199 \]

Шаг 4: Определение количества чисел, делящихся на 2 и 3
Для того чтобы определить количество чисел от 0 до 999, делящихся на 2 и 3 одновременно, нам необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел. В данном случае нам нужно найти НОК чисел 2 и 3:

\[ \text{НОК}(2, 3) = \frac{{2 \times 3}}{{\text{НОД}(2, 3)}} = 6 \]

Чтобы определить количество чисел от 0 до 999, делящихся на 2 и 3 одновременно, мы можем разделить 999 на 6 и округлить результат в меньшую сторону. Поэтому получаем:

\[ \text{Количество чисел, делящихся на 2 и 3} = \left\lfloor \frac{999}{6} \right\rfloor = 166 \]

Шаг 5: Определение количества чисел, делящихся на 2 и 5
Точно так же, чтобы определить количество чисел от 0 до 999, делящихся на 2 и 5 одновременно, мы должны найти НОК чисел 2 и 5. В данном случае нам нужно найти НОК чисел 2 и 5:

\[ \text{НОК}(2, 5) = \frac{{2 \times 5}}{{\text{НОД}(2, 5)}} = 10 \]

Поэтому количество чисел от 0 до 999, делящихся на 2 и 5 одновременно:

\[ \text{Количество чисел, делящихся на 2 и 5} = \left\lfloor \frac{999}{10} \right\rfloor = 99 \]

Шаг 6: Определение количества чисел, делящихся на 3 и 5
Обратите внимание, что все числа, делящиеся на 3 и 5 одновременно, также будут деляться и на их НОК -- 15. Поэтому количество чисел от 0 до 999, делящихся на 3 и 5:

\[ \text{Количество чисел, делящихся на 3 и 5} = \left\lfloor \frac{999}{15} \right\rfloor = 66 \]

Шаг 7: Определение количества чисел, делящихся на 2, 3 и 5 одновременно
Теперь мы должны найти количество чисел от 0 до 999, которые делятся на 2, 3 и 5 одновременно. Они также являются кратными 30 (НОК чисел 2, 3 и 5):

\[ \text{Количество чисел, делящихся на 2, 3 и 5} = \left\lfloor \frac{999}{30} \right\rfloor = 33 \]

Шаг 8: Определение общего количества чисел, не кратных ни 2, ни 3, ни 5
Для того чтобы определить общее количество чисел от 0 до 999, которые не кратны ни 2, ни 3, ни 5, нам нужно вычесть количество чисел, которые делятся на 2, 3 или 5, из общего количества чисел от 0 до 999.

\[ \text{Общее количество чисел} = 999 - (\text{Количество чисел, делящихся на 2} + \text{Количество чисел, делящихся на 3} + \text{Количество чисел, делящихся на 5}) + (\text{Количество чисел, делящихся на 2 и 3}) + (\text{Количество чисел, делящихся на 2 и 5}) + (\text{Количество чисел, делящихся на 3 и 5}) - (\text{Количество чисел, делящихся на 2, 3 и 5}) \]

Подставим значения:

\[ \text{Общее количество чисел} = 999 - (499 + 333 + 199) + (166 + 99 + 66) - 33 \]

Вычислим:

\[ \text{Общее количество чисел} = 999 - 1031 + 331 - 33 = 266 \]

Ответ: Количество чисел от 0 до 999, которые не кратны ни 2, ни 3, ни 5, равно 266.