Сколько человек на первом курсе колледжа может заразиться гриппом во время эпидемии при вероятности заболевания равной

Хорошо, для решения этой задачи нам понадобятся некоторые знания из теории вероятностей.

Дано, что вероятность заболеть гриппом равна 0,75. Это значит, что вероятность не заболеть равна 1 - 0,75 = 0,25.

Теперь рассмотрим каждого студента колледжа отдельно. Вероятность, что определенный студент заболеет гриппом, равна 0,75. Вероятность, что этот студент не заболеет гриппом, равна 0,25.

Таким образом, для каждого студента у нас есть два варианта исхода: заболеть или не заболеть. Мы можем представить это с помощью биномиального распределения.

Формула для определения вероятности того, что ровно k студентов заболеют гриппом из n студентов, выглядит следующим образом:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что ровно k студентов заболеют гриппом,
- \(C_n^k\) - количество сочетаний из n по k (число возможных сочетаний),
- \(p^k\) - вероятность, что k студентов заболеют (0,75 в нашем случае),
- \((1 - p)^{n - k}\) - вероятность, что (n - k) студентов не заболеют (0,25 в нашем случае).

Мы хотим найти вероятность, что хотя бы один студент заболеет. Это можно представить как вероятность того, что ни один студент не заболеет, и вычесть эту вероятность из 1.

Формула для вычисления вероятности того, что хотя бы один студент заболеет гриппом, выглядит следующим образом:

\[P(\text{хотя бы один студент заболеет}) = 1 - P(\text{никто не заболеет})\]

Теперь мы можем решить задачу:

\[P(\text{никто не заболеет}) = C_{400}^0 \cdot 0,75^0 \cdot 0,25^{400 - 0}\]

Давайте рассчитаем это значение:

\[
P(\text{никто не заболеет}) = C_{400}^0 \cdot 0,75^0 \cdot 0,25^{400} = 1 \cdot 1 \cdot 0.25^{400}
\]

\[
P(\text{хотя бы один студент заболеет}) = 1 - 0.25^{400}
\]

Теперь давайте вычислим эту вероятность.