Найти координаты точки основания высоты треугольника, проведенной из вершины C, если из этой точки проведены векторы

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами векторного произведения. Векторное произведение двух векторов a и b с помощью формулы:

\[ \textbf{c} = \textbf{a} \times \textbf{b} \]

даёт нам новый вектор с, который перпендикулярен плоскости, образованной векторами a и b. Точка основания высоты треугольника будет лежать на этой перпендикулярной линии.

Итак, мы должны найти векторное произведение векторов a и b. Подставив значения векторов, получим:

\[ \textbf{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Чтобы найти векторное произведение, вычислим определитель следующей матрицы:

\[
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
5 & -2 & -1 \\
1 & -5 & 2 \\
\end{vmatrix}
\]

Выполним разложение по первому столбцу:

\[
\begin{vmatrix}
-2 & -1 \\
-5 & 2 \\
\end{vmatrix} \mathbf{i} -
\begin{vmatrix}
5 & -1 \\
1 & 2 \\
\end{vmatrix} \mathbf{j} +
\begin{vmatrix}
5 & -2 \\
1 & -5 \\
\end{vmatrix} \mathbf{k}
\]

Вычислим эти определители:

\[
\begin{vmatrix}
-2 & -1 \\
-5 & 2 \\
\end{vmatrix} = (-2 \cdot 2) - (-1 \cdot -5) = -4 + 5 = 1
\]

\[
\begin{vmatrix}
5 & -1 \\
1 & 2 \\
\end{vmatrix} = (5 \cdot 2) - (-1 \cdot 1) = 10 + 1 = 11
\]

\[
\begin{vmatrix}
5 & -2 \\
1 & -5 \\
\end{vmatrix} = (5 \cdot -5) - (-2 \cdot 1) = -25 + 2 = -23
\]

Таким образом, векторное произведение векторов a и b равно:

\[ \textbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -11 \\ -23 \end{pmatrix} \]

Теперь у нас есть вектор, указывающий направление прямой, на которой лежит высота треугольника.

Чтобы найти координаты точки основания высоты, проведенной из вершины C, нам нужно найти пересечение этой прямой с плоскостью, образованной остальными двумя сторонами треугольника.

Далее, решение будет сложнее и потребует знания координат остальных точек треугольника. Если у вас есть дополнительная информация о треугольнике, пожалуйста, укажите её.