Сколько человек было сидящих за столом, так чтобы между каждыми соседними людьми было одинаковое расстояние?

Данная задача относится к области математики и требует некоторого размышления. Для ее решения нам потребуется использовать понятие арифметической прогрессии.

Предположим, что за столом сидело \(n\) человек, и между каждыми соседними людьми было одинаковое расстояние. Тогда можно представить расстояние между соседними людьми как единицу, чтобы сделать рассуждения более наглядными.

Таким образом, можно составить арифметическую прогрессию, в которой каждый член будет представлять собой номер человека за столом. Первый член прогрессии будет равен 1, второй член - 2, третий - 3 и так далее до \(n\)-го члена прогрессии.

Сумма всех членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n),\]

где \(S\) - сумма всех членов прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

Так как расстояние между каждыми соседними людьми равно единице, то сумма всех расстояний будет равна \(n - 1\), так как количество расстояний будет на единицу меньше количества членов прогрессии. То есть, \(S = n - 1\).

Теперь мы можем записать уравнение:

\[n - 1 = \frac{n}{2}(1 + n).\]

Решая это уравнение, мы найдем значение \(n\), которое позволит выяснить, сколько человек было сидящих за столом.

{\large Шаг 1: Перенесем все на одну сторону уравнения}

\[2(n - 1) = n(n + 1).\]

{\large Шаг 2: Раскроем скобки}

\[2n - 2 = n^2 + n.\]

{\large Шаг 3: Приведем подобные члены}

\[n^2 + n - 2n + 2 = 0.\]

{\large Шаг 4: Упростим уравнение}

\[n^2 - n + 2 = 0.\]

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта \(D\).

Дискриминант определяется формулой:

\[D = b^2 - 4ac,\]

где в нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 2\).

{\large Шаг 5: Найдем значение дискриминанта}

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9.\]

Дискриминант положительный, что означает, что уравнение имеет два корня.

{\large Шаг 6: Найдем корни уравнения}

\[n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2,\]
\[n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1.\]

Так как количество человек не может быть отрицательным числом, мы отбрасываем второй корень \(n_2\).

Таким образом, получаем, что \(n = 2\), то есть за столом было два человека, так чтобы между ними было одинаковое расстояние.