Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству | 3x - 2 | > x + 4 и принадлежат промежутку [-4, +∞)?

Чтобы решить данную задачу, нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству и принадлежат промежутку \([-4, +\infty)\).

Давайте начнем с условия неравенства: \(\lvert 3x - 2 \rvert > x + 4\).

По определению, модуль числа означает его расстояние от нуля на числовой оси. Таким образом, мы можем разделить это неравенство на две его составляющие:

1. \(3x - 2 > x + 4\)
2. \(3x - 2 < -(x + 4)\)

Рассмотрим первое неравенство: \(3x - 2 > x + 4\).

Для начала, вычтем \(x\) из обеих частей неравенства:

\(2x - 2 > 4\)

Затем, добавим 2 к обеим сторонам:

\(2x > 6\)

И наконец, разделим на 2:

\(x > 3\)

Теперь рассмотрим второе неравенство: \(3x - 2 < -(x + 4)\).

Сначала упростим правую сторону неравенства:

\(3x - 2 < -x - 4\)

Затем добавим \(x\) к обеим сторонам:

\(4x - 2 < -4\)

Теперь добавим 2 к обеим сторонам:

\(4x < -2\)

И наконец, разделим на 4:

\(x < -\frac{1}{2}\)

Итак, мы получили два неравенства:

1. \(x > 3\)
2. \(x < -\frac{1}{2}\)

Теперь посмотрим на промежуток \([-4, +\infty)\).

Это означает, что значение \(x\) должно быть больше или равно -4, чтобы удовлетворять первому условию, и оно не имеет ограничений сверху (т.е. может быть любым положительным числом).

Объединим наши результаты:

\(-\frac{1}{2} < x < 3\) или \(x > 3\)

Таким образом, все целые числа, которые удовлетворяют неравенству и принадлежат промежутку \([-4, +\infty)\), являются всеми целыми числами, большими 3.