Определить значения х, при которых производная функции f(х) равна 0, для следующих функций: 1) f(x) = ln(x+4)

Давайте решим каждую задачу последовательно:

1) Для нахождения значения \(x\), при котором производная функции \(f(x)\) равна 0, мы должны найти точку перегиба или экстремум функции.

Для функции \(f(x) = \ln(x+4) - x\) мы сначала возьмем производную функции \(f(x)\) и приравняем ее к нулю:

\[
f"(x) = \frac{1}{x+4} - 1 = 0
\]

Теперь решим это уравнение:

\[
\frac{1}{x+4} = 1
\]

Умножим обе стороны на \(x+4\):

\[
1 = x + 4
\]

Вычтем 4 из обеих сторон:

\[
x = -3
\]

Таким образом, значение \(x\), при котором производная функции равна 0, равно -3.

2) Для функции \(f(x) = 4\ln(x-4) - 2x\) мы снова найдем производную функции \(f(x)\) и приравняем ее к нулю:

\[
f"(x) = \frac{4}{x-4} - 2 = 0
\]

Теперь решим это уравнение:

\[
\frac{4}{x-4} = 2
\]

Разделим обе стороны на 2:

\[
\frac{2}{x-4} = 1
\]

Умножим обе стороны на \(x-4\):

\[
2 = x - 4
\]

Прибавим 4 к обеим сторонам:

\[
x = 6
\]

Таким образом, значение \(x\), при котором производная функции равна 0, равно 6.

3) Для функции \(f(x) = x^2 + 6x - 8\ln(x)\) нахождение точек, при которых производная равна 0, сложнее. Но мы можем решить это, используя процесс дифференцирования и алгебруические методы.

Сначала возьмем производную функции \(f(x)\):

\[
f"(x) = 2x + 6 - \frac{8}{x}
\]

Теперь приравняем производную к 0 и решим уравнение:

\[
2x + 6 - \frac{8}{x} = 0
\]

Умножим все члены уравнения на \(x\):

\[
2x^2 + 6x - 8 = 0
\]

Мы получили квадратное уравнение. Можно решить его, используя алгебраические методы, например, метод дискриминанта или факторизацию. Я рекомендую использовать метод дискриминанта.

Для уравнения \(2x^2 + 6x - 8 = 0\) вычислим дискриминант:

\[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 36 + 64 = 100
\]

Дискриминант положительный, следовательно, у уравнения есть два корня:

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{4} = \frac{-6 + 10}{4} = \frac{4}{4} = 1
\]

\[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{4} = \frac{-6 - 10}{4} = \frac{-16}{4} = -4
\]

Таким образом, значения \(x\), при которых производная функции равна 0, равны 1 и -4.

Это и есть ответы на задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.