Сколько бусин Наташа использовала в седьмой день, если она использовала на каждый последующий день на одинаковое

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом, чтобы ответ был понятен школьнику.

У нас есть информация, что Наташа использовала на каждый последующий день на одинаковое количество бусин больше, чем в предыдущий день, и она использовала 15 бусин в первый день.

Мы хотим найти, сколько бусин Наташа использовала в седьмой день.

Для начала, давайте выясним, сколько всего дней длились каникулы. В задаче сказано, что каникулы длились 10 дней.

Затем, мы можем применить формулу для суммы арифметической прогрессии, чтобы найти общее количество бусин, которое было использовано Наташей за все каникулы. Формула для этого выглядит следующим образом:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

где \(S\) - общее количество бусин, \(n\) - количество дней, \(a_1\) - количество бусин в первый день, \(a_n\) - количество бусин в последний день.

Мы уже знаем, что в первый день Наташа использовала 15 бусин, и каникулы длились 10 дней. Давайте посчитаем \(a_n\), количество бусин в последний день.

Мы знаем, что на каждый последующий день Наташа использовала на одинаковое количество бусин больше, чем в предыдущий день. Это значит, что количество бусин в каждый следующий день можно выразить через \(a_1\) и разницу между днями.

Пусть \(d\) - это разница между днями (количество бусин, на которое больше использовалось в каждый последующий день). Тогда \(a_n\) можно выразить следующим образом:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

Мы знаем значение \(a_1\) (15) и \(n\) (10), поэтому мы можем подставить значения и посчитать \(a_n\):

\[a_n = 15 + (10-1) \cdot d\]

А теперь нам нужно найти значение \(d\). Мы знаем, что за все каникулы Наташа использовала 420 бусин, поэтому мы можем использовать это знание для подсчета разницы между днями.

Мы можем записать это в виде уравнения:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

Подставляя известные значения:

\[420 = \frac{10}{2} \cdot (15 + 15 + (10-1) \cdot d)\]

Теперь давайте решим это уравнение для нахождения значения \(d\).

\[420 = 5 \cdot (30 + 9d)\]

Раскроем скобки:

\[420 = 150 + 45d\]

Вычтем 150 с обеих сторон:

\[270 = 45d\]

Теперь разделим обе части уравнения на 45:

\[\frac{270}{45} = d\]

Получим:

\[6 = d\]

Теперь, когда мы найдем значение \(d\), мы можем вернуться к нашей формуле для нахождения \(a_n\):

\[a_n = 15 + (10-1) \cdot 6\]

\[a_n = 15 + 9 \cdot 6\]

\[a_n = 15 + 54\]

\[a_n = 69\]

Таким образом, мы выяснили, что количество бусин в последний день каникул равно 69.

Теперь, чтобы найти количество бусин, которое Наташа использовала в седьмой день каникул, мы можем использовать ту же формулу для нахождения суммы арифметической прогрессии, но на этот раз все вычислить для \(n=7\).

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

Подставляя известные значения:

\[S = \frac{7}{2} \cdot (15 + 69)\]

Рассчитываем:

\[S = \frac{7}{2} \cdot 84\]

\[S = 294\]

Итак, Наташа использовала 294 бусины в свой седьмой день каникул.