Скількома нулями закінчується добуток всіх натуральних чисел від 24 до 43? Можливо, ви можете пояснити

Определение количества нулей в конце произведения всех натуральных чисел в данном диапазоне можно связать с количеством множителей, которые делятся на 5 и 2. Деление на 10 создает ноль в конце числа, что означает, что нам нужно найти количество пар множителей 5 и 2.

Для этого раскроем каждое число в диапазоне на простые множители и посчитаем, сколько раз встречаются 5 и 2:

24 = 2² × 3 × 5⁰
25 = 5²
26 = 2 × 13
27 = 3³
28 = 2² × 7
29 = простое число
30 = 2 × 3 × 5
31 = простое число
32 = 2⁵
33 = 3 × 11
34 = 2 × 17
35 = 5 × 7
36 = 2² × 3²
37 = простое число
38 = 2 × 19
39 = 3 × 13
40 = 2³ × 5
41 = простое число
42 = 2 × 3 × 7
43 = простое число

Итак, мы можем заметить, что простые числа (29, 31, 37, 41, 43) не содержат множители 5 и 2, поскольку они не делятся на них. Остальные числа имеют множители 5 и 2, и мы можем просуммировать количества 5 и 2 в каждом числе:

2² × 3 × 5⁰: 2 (1 5, 2 2)
5²: 2 (1 5, 2 2)
2 × 13: 1 (1 5)
3³: 0
2² × 7: 2 (1 5, 1 2)
2 × 3 × 5: 2 (1 5, 1 2)
2⁵: 5 (1 5, 2 2, 3 5, 4 2, 5 2)
3 × 11: 0
2 × 17: 1 (1 5)
5 × 7: 2 (2 5, 1 2)
2² × 3²: 4 (1 5, 2 2, 1 5, 2 2)
2 × 19: 1 (1 5)
3 × 13: 0
2³ × 5: 3 (1 5, 2 2, 3 5)
2 × 3 × 7: 2 (1 5, 1 2)
простые числа: 0 (29, 31, 37, 41, 43)

Теперь мы можем просуммировать количества 5 и 2, которые были подсчитаны:

(2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 5 + 1 + 2 + 1 + 2 + 4 + 1 + 3 + 2) = 30

Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 24 до 43 заканчивается 30 нулями.