1. Сколько способов выбрать 5 патронов из 20, включающих 3 подходящих к пистолету Макарова? 2. Какова вероятность взять

Задача 1:

Для решения этой задачи, мы можем использовать комбинаторику. Вам нужно выбрать 3 патрона, которые подходят к пистолету Макарова, и 2 патрона, которые не подходят. Общее количество способов выбрать 5 патронов из 20 можно рассчитать по формуле сочетаний. Формула для сочетаний записывается в виде \( C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}} \), где \( n \) - общее количество элементов, а \( k \) - количество элементов, которые нужно выбрать.

Для нашей задачи, количество способов выбрать 3 патрона, которые подходят к пистолету Макарова, из 3 доступных патронов равно 1 (поскольку все 3 патрона подходят). Количество способов выбрать 2 патрона, которые не подходят к пистолету Макарова, из оставшихся 17 патронов можно рассчитать по формуле сочетаний: \( C(17, 2) = \frac{{17!}}{{2!(17-2)!}} = \frac{{17!}}{{2!15!}} \).

Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать 5 патронов из 20, включающих 3 подходящих к пистолету Макарова, мы просто перемножим количество способов выбрать каждый тип патронов: 1 (подходящие) * \( C(17, 2) \) (неподходящие). Таким образом, общее количество способов будет \( 1 \times C(17, 2) = \frac{{17!}}{{2!15!}} = 136 \).

Ответ: Существует 136 способов выбрать 5 патронов из 20, включающих 3 подходящих к пистолету Макарова.

Задача 2:

Для решения этой задачи, нам нужно посчитать количество благоприятных исходов (т.е. взять больше черных шаров) и разделить его на общее количество возможных исходов (т.е. случайно выбрать 4 шара из урны).

Количество благоприятных исходов можно рассчитать с помощью комбинаторики. У нас есть 5 белых и 7 черных шаров. Чтобы взять больше черных шаров, мы можем выбрать 3, 2 или 1 черных шара из урны и выбрать оставшиеся шары белыми. Общее количество благоприятных исходов можно рассчитать как сумму всех этих комбинаций.

Количество комбинаций с 3 черными шарами можно рассчитать по формуле сочетаний: \( C(7, 3) = \frac{{7!}}{{3!(7-3)!}} = \frac{{7!}}{{3!4!}} \). Аналогично, количество комбинаций с 2 черными шарами равно \( C(7, 2) = \frac{{7!}}{{2!(7-2)!}} = \frac{{7!}}{{2!5!}} \), и количество комбинаций с 1 черным шаром равно \( C(7, 1) = \frac{{7!}}{{1!(7-1)!}} = \frac{{7!}}{{1!6!}} \).

Теперь, чтобы найти общее количество благоприятных исходов, мы складываем количество исходов из каждой категории: \( C(7, 3) + C(7, 2) + C(7, 1) \). После сложения получаем число 35.

Теперь нам нужно вычислить общее количество возможных исходов, выбрав 4 шара из урны, где всего 12 шаров (5 белых и 7 черных). Это вычисляется по формуле сочетаний: \( C(12, 4) = \frac{{12!}}{{4!(12-4)!}} = \frac{{12!}}{{4!8!}} \). Когда мы вычисляем это, получаем число 495.

Итак, чтобы найти вероятность взять больше черных шаров, мы делим количество благоприятных исходов на общее количество исходов: \( \frac{{35}}{{495}} \).

Ответ: Вероятность взять больше черных шаров, чем белых, при случайном выборе 4 шаров из урны с 5 белыми и 7 черными шарами, составляет \( \frac{{35}}{{495}} \).

Задача 3:

Для решения этой задачи, мы можем использовать понятие условной вероятности. Нам нужно найти вероятность получить 2 попадания при двух выстрелах, с учетом разных вероятностей попадания при первом и втором выстреле в разных сценариях (попадание/промах при первом выстреле).

Существуют 4 возможных сценария: попадание при первом выстреле и попадание при втором выстреле, попадание при первом выстреле и промах при втором выстреле, промах при первом выстреле и попадание при втором выстреле, промах при первом и втором выстреле.

Когда первый выстрел попадает, вероятность этого события равна 0.4. Здесь мы используем данную информацию.

Если первый выстрел попадает, то второй выстрел будет зависеть от вероятности попадания при первом выстреле (0.4). Если первый выстрел промахивается, то второй выстрел будет зависеть от вероятности попадания при первом выстреле (0.5). Мы можем выразить это в виде условной вероятности: вероятность попадания при втором выстреле, если первый выстрел был попаданием, равна 0.75, а если первый выстрел был промахом, то вероятность попадания при втором выстреле равна 0.5.

Теперь рассмотрим каждый сценарий отдельно:

1) Попадание при первом выстреле и попадание при втором выстреле. Вероятность этого события равна произведению вероятности попадания при первом выстреле (0.4) и вероятности попадания при втором выстреле при условии попадания при первом выстреле (0.75): \( 0.4 \times 0.75 = 0.3 \).

2) Попадание при первом выстреле и промах при втором выстреле. Вероятность этого события равна произведению вероятности попадания при первом выстреле (0.4) и вероятности промаха при втором выстреле при условии попадания при первом выстреле (0.25): \( 0.4 \times 0.25 = 0.1 \).

3) Промах при первом выстреле и попадание при втором выстреле. Вероятность этого события равна произведению вероятности промаха при первом выстреле (0.6) и вероятности попадания при втором выстреле при условии промаха при первом выстреле (0.5): \( 0.6 \times 0.5 = 0.3 \).

4) Промах при первом и втором выстреле. Вероятность этого события равна произведению вероятности промаха при первом выстреле (0.6) и вероятности промаха при втором выстреле при условии промаха при первом выстреле (0.5): \( 0.6 \times 0.5 = 0.3 \).

Теперь, чтобы найти общую вероятность получить 2 попадания, мы складываем вероятности каждого сценария события: \( 0.3 + 0.1 + 0.3 + 0.3 = 1 \).

Ответ: Вероятность получить 2 попадания при двух выстрелах равна 1.