Скільки з можливих пар студентів можна обрати для поїздки за кордон?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать, сколько всего студентов у нас есть и в каких группах они разделены.

Предположим, у нас есть N студентов, и они разделены на несколько групп. Давайте обозначим количество студентов в каждой группе через \(n_1, n_2, n_3, \ldots, n_k\). Здесь k - количество групп.

Теперь давайте посмотрим на каждую группу отдельно. Для каждой группы выбирается пара студентов. Поскольку для выбора пары студентов у нас есть два варианта (первый и второй студенты), мы можем использовать комбинаторику для решения этой задачи.

Общее количество пар студентов в каждой группе рассчитывается с помощью формулы сочетаний. Для каждой группы количество возможных пар можно вычислить по формуле \(\binom {n_i}{2} = \frac{n_i!}{2!(n_i-2)!}\), где \(n_i\) - количество студентов в группе i.

Теперь, чтобы найти общее количество пар студентов за пределами группы, мы должны сложить количество пар из каждой группы. То есть, если у нас есть k групп, то общее количество пар можно рассчитать по формуле:
\[Количество\ пар\ = \binom {n_1}{2} + \binom {n_2}{2} + \binom {n_3}{2} + \ldots + \binom {n_k}{2}\]

Например, если у нас есть 3 группы студентов с 5, 4 и 6 студентами соответственно, мы можем посчитать общее количество пар следующим образом:
\[Количество\ пар\ = \binom {5}{2} + \binom {4}{2} + \binom {6}{2}\]

Теперь давайте рассчитаем это значение.

\(\binom {5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5\times4\times3!}{2\times1\times3!} = \frac{5\times4}{2\times1} = \frac{20}{2} = 10\)

\(\binom {4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4\times3\times2!}{2\times1\times2!} = \frac{4\times3}{2\times1} = \frac{12}{2} = 6\)

\(\binom {6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6\times5\times4!}{2\times1\times4!} = \frac{6\times5}{2\times1} = \frac{30}{2} = 15\)

Теперь сложим все значения:
\(Количество\ пар\ = 10 + 6 + 15 = 31\)

Таким образом, для данного случая количество возможных пар студентов, которые могут отправиться за границу, равно 31.