Скільки трикутників можна утворити з 12 точок, розміщених на колі?

Чтобы решить данную задачу, давайте разберемся с основными концепциями, которые мы будем использовать.

В данной задаче мы имеем дело с комбинаторикой, который изучает комбинации и перестановки объектов.

Для начала, чтобы определить, сколько треугольников можно образовать с 12 точками, размещенными на окружности, нам нужно понять, что формирует треугольник. В треугольнике есть три стороны и три угла, и чтобы определить треугольник, нам нужно выбрать 3 точки из 12.

Теперь мы можем перейти к пошаговому решению:

Шаг 1: Определение количества способов выбрать 3 точки из 12
Для этого мы можем использовать формулу комбинации. Формула комбинации определяется как:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]
где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем из общего количества.

В нашем случае, мы выбираем 3 точки из 12, поэтому \(n = 12\) и \(k = 3\). Подставляя эти значения в формулу комбинации, получаем:
\[C(12, 3) = \frac{{12!}}{{3! \cdot (12-3)!}} = \frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}}\]

Шаг 2: Упрощение формулы
Чтобы упростить формулу дальше, мы можем заметить, что \(9! \) в знаменателе можно сократить с \(12!\), поскольку \(9!\) является частью \(12!\). Таким образом, формула упрощается до:
\[\frac{{12!}}{{3!}}\]

Шаг 3: Вычисление факториала
Теперь нам нужно вычислить факториалы. Факториал - это произведение всех положительных целых чисел от 1 до данного числа.
\[3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\]
\[12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Шаг 4: Подстановка значений и вычисление
Подставляя значения факториалов и упрощенной формулы, мы получаем:
\[\frac{{12!}}{{3!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{6}}\]

Вычисляя данное выражение, можно получить число треугольников, которые могут быть образованы с 12 точками на окружности.

Ответ: Соединив 12 точек, расположенных на окружности, можно образовать \(\frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{6}}\) = 924 треугольников.