Скільки членів містить геометрична прогресія, якщо її перший член дорівнює 1/3, четвертий член - 1/54, а сума всіх

Данная задача относится к геометрической прогрессии, где каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

Для начала найдем знаменатель прогрессии. Поскольку первый член равен \( \frac{1}{3} \), а четвертый член - \( \frac{1}{54} \), мы можем найти знаменатель путем деления четвертого члена на первый член:

\[
\frac{\frac{1}{54}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{54} \cdot \frac{3}{1} = \frac{1}{18}
\]

Теперь мы знаем знаменатель прогрессии, который равен \( \frac{1}{18} \).

Для того чтобы найти количество членов в прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

\[
S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}
\]

где \( S_n \) - сумма первых \( n \) членов прогрессии, \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( r \) - знаменатель прогрессии.

У нас известна сумма всех членов прогрессии, которая равна \( \frac{121}{162} \). Заменяя соответствующие значения в формуле, мы получим:

\[
\frac{121}{162} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{18})^n)}{1 - \frac{1}{18}}
\]

Далее, мы можем упростить это уравнение:

\[
\frac{121}{162} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{18})^n)}{\frac{17}{18}}
\]

Домножим обе стороны уравнения на \(\frac{17}{18}\):

\[
\frac{121}{162} \cdot \frac{17}{18} = \frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{18})^n)
\]

Соединим числители:

\[
\frac{121 \cdot 17}{162 \cdot 18} = \frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{18})^n)
\]

Далее, упростим выражение на левой стороне:

\[
\frac{2065}{2916} = \frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{18})^n)
\]

Теперь, умножим обе стороны уравнения на \(\frac{3}{1}\):

\[
\frac{2065}{2916} \cdot \frac{3}{1} = 1 - (\frac{1}{18})^n
\]

Следовательно:

\[
\frac{6195}{2916} = 1 - (\frac{1}{18})^n
\]

Теперь, выразим \((\frac{1}{18})^n\) и используем свойства степени:

\[
(\frac{1}{18})^n = 1 - \frac{6195}{2916}
\]

\[
(\frac{1}{18})^n = \frac{2916}{2916} - \frac{6195}{2916}
\]

\[
(\frac{1}{18})^n = \frac{2916 - 6195}{2916}
\]

\[
(\frac{1}{18})^n = \frac{-3279}{2916}
\]

Теперь, мы можем выразить \((\frac{1}{18})^n\) как обратное значение:

\[
(\frac{1}{18})^n = \frac{2916}{-3279}
\]

Для того чтобы найти значение степени \(n\), мы можем применить логарифмирование к обеим сторонам уравнения:

\[
n \cdot \log{(\frac{1}{18})} = \log{(\frac{2916}{-3279})}
\]

Теперь, разделим обе стороны уравнения на \(\log{(\frac{1}{18})}\):

\[
n = \frac{\log{(\frac{2916}{-3279})}}{\log{(\frac{1}{18})}}
\]

Здесь мы сталкиваемся с проблемой отрицательного значения в знаменателе логарифма, что недопустимо. Это означает, что данная геометрическая прогрессия не имеет решений среди натуральных чисел \(n\).

В результате, мы не можем найти количество членов в данной геометрической прогрессии с заданными условиями.