Скільки членів містить геометрична прогресія, якщо її перший член дорівнює 1/3, четвертий член - 1/54, а сума всіх

Данная задача относится к геометрической прогрессии, где каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

Для начала найдем знаменатель прогрессии. Поскольку первый член равен $\frac{1}{3}$, а четвертый член - $\frac{1}{54}$, мы можем найти знаменатель путем деления четвертого члена на первый член:

$$\frac{\frac{1}{54}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{54}\cdot \frac{3}{1}=\frac{1}{18}$$

Теперь мы знаем знаменатель прогрессии, который равен $\frac{1}{18}$.

Для того чтобы найти количество членов в прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии.

У нас известна сумма всех членов прогрессии, которая равна $\frac{121}{162}$. Заменяя соответствующие значения в формуле, мы получим:

$$\frac{121}{162}=\frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{18}{)}^n)}{1-\frac{1}{18}}$$

Далее, мы можем упростить это уравнение:

$$\frac{121}{162}=\frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{18}{)}^n)}{\frac{17}{18}}$$

Домножим обе стороны уравнения на $\frac{17}{18}$:

$$\frac{121}{162}\cdot \frac{17}{18}=\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{18}{)}^n)$$

Соединим числители:

$$\frac{121\cdot 17}{162\cdot 18}=\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{18}{)}^n)$$

Далее, упростим выражение на левой стороне:

$$\frac{2065}{2916}=\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{18}{)}^n)$$

Теперь, умножим обе стороны уравнения на $\frac{3}{1}$:

$$\frac{2065}{2916}\cdot \frac{3}{1}=1-(\frac{1}{18}{)}^n$$

Следовательно:

$$\frac{6195}{2916}=1-(\frac{1}{18}{)}^n$$

Теперь, выразим $(\frac{1}{18}{)}^n$ и используем свойства степени:

$$(\frac{1}{18}{)}^n=1-\frac{6195}{2916}$$

$$(\frac{1}{18}{)}^n=\frac{2916}{2916}-\frac{6195}{2916}$$

$$(\frac{1}{18}{)}^n=\frac{2916-6195}{2916}$$

$$(\frac{1}{18}{)}^n=\frac{-3279}{2916}$$

Теперь, мы можем выразить $(\frac{1}{18}{)}^n$ как обратное значение:

$$(\frac{1}{18}{)}^n=\frac{2916}{-3279}$$

Для того чтобы найти значение степени $n$, мы можем применить логарифмирование к обеим сторонам уравнения:

$$n\cdot \log (\frac{1}{18})=\log (\frac{2916}{-3279})$$

Теперь, разделим обе стороны уравнения на $\log (\frac{1}{18})$:

$$n=\frac{\log (\frac{2916}{-3279})}{\log (\frac{1}{18})}$$

Здесь мы сталкиваемся с проблемой отрицательного значения в знаменателе логарифма, что недопустимо. Это означает, что данная геометрическая прогрессия не имеет решений среди натуральных чисел $n$.

В результате, мы не можем найти количество членов в данной геометрической прогрессии с заданными условиями.