Шукаємо максимальну висоту та радіус описаного кола трикутника зі сторонами 4, 13

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности треугольника, которая основывается на теореме синусов.

Первым шагом, нам нужно найти углы треугольника. Мы можем использовать теорему косинусов для этого. Давайте обозначим углы треугольника как \(\angle A\), \(\angle B\), и \(\angle C\), а обозначим стороны как \(a\), \(b\), и \(c\) соответственно.

Применяя теорему косинусов, мы можем найти углы:

\[\cos(\angle A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]
\[\cos(\angle B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]
\[\cos(\angle C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

В данной задаче, у нас есть стороны треугольника \(a = 4\), \(b = 13\), и \(c\) является гипотенузой треугольника, так как мы ищем описанную окружность.

Теперь мы можем найти углы треугольника:

\[\cos(\angle A) = \frac{13^2 + c^2 - 4^2}{2 \cdot 13 \cdot c}\]

Мы можем решить эту уравнение для \(c\):

\[c = \frac{169 + c^2 - 16}{26}\]
\[26c = c^2 + 153\]
\[c^2 - 26c + 153 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение.

\[c = \frac{-(-26) \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 153}}{2 \cdot 1}\]
\[c = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 612}}{2}\]
\[c = \frac{26 \pm \sqrt{64}}{2}\]
\[c = \frac{26 \pm 8}{2}\]

Теперь мы можем найти два возможных значения для \(c\):

\[c_1 = \frac{26 + 8}{2} = 17\]
\[c_2 = \frac{26 - 8}{2} = 9\]

Мы получили два возможных значения для гипотенузы треугольника \(c\). Так как мы ищем описанную окружность, рассмотрим только \(c_1 = 17\) в качестве гипотенузы.

Теперь мы можем найти углы треугольника:

\[\cos(\angle A) = \frac{13^2 + 17^2 - 4^2}{2 \cdot 13 \cdot 17}\]
\[\cos(\angle A) = \frac{169 + 289 - 16}{442}\]
\[\cos(\angle A) = \frac{442}{442}\]
\[\cos(\angle A) = 1\]

Таким образом, \(\angle A = 0\).

Теперь мы можем использовать закон синусов для нахождения высоты треугольника:

\[\frac{h}{\sin(\angle A)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}\]

Так как \(\angle A = 0\), \(\sin(\angle A) = \sin(0) = 0\), и поэтому эта формула не работает для нахождения высоты.

К сожалению, данный треугольник не имеет описанной окружности, так как все его углы прямые, и поэтому его высота не определена.