Сформулируйте явленно, что доказывать нужно

Конечно! Чтобы дать максимально подробный ответ и обеспечить полное понимание задачи, необходимо ясно сформулировать, что нужно доказать.

Давайте рассмотрим следующую задачу:

Доказать, что сумма первых \( n \) четных натуральных чисел равна \( n(n + 1) \), где \( n \) - натуральное число.

Для начала, рассмотрим, что такое четное натуральное число. Четное число - это число, кратное 2. То есть, оно делится на 2 без остатка.

Для доказательства формулы \( n(n + 1) \), мы можем воспользоваться методом математической индукции.

1. Базовый шаг:
Проверим, что формула выполняется для \( n = 1 \).
Когда \( n = 1 \), сумма первого четного числа равна 2 (2 = 1(1 + 1)).
Таким образом, базовый шаг выполняется.

2. Предположение индукции:
Предположим, что для некоторого натурального числа \( k \) формула \( k(k + 1) \) выполняется.
То есть, сумма первых \( k \) четных чисел равна \( k(k + 1) \).

3. Индукционный шаг:
Докажем, что формула выполняется для \( n = k + 1 \).
По предположению индукции, сумма первых \( k \) четных чисел равна \( k(k + 1) \).
Добавим к этой сумме следующее четное число, которое равно \( (k + 1) \times 2 \).
Таким образом, сумма первых \( k + 1 \) четных чисел будет равна \( k(k + 1) + (k + 1) \times 2 \).
Упрощая выражение, получаем: \( (k + 1)(k + 2) \).
Таким образом, формула \( (k + 1)(k + 2) \) также выполняется.

Таким образом, используя метод математической индукции, мы доказали, что сумма первых \( n \) четных натуральных чисел равна \( n(n + 1) \).