Сформулируйте вопрос: Как найти закон распределения и функцию распределения для дискретной случайной величины

Для начала давайте определим, как именно устроена случайная величина \(X\), которая представляет количество изделий первого сорта из четырех выбранных наугад.

Здесь у нас есть четыре возможных исхода: 0, 1, 2 или 3 изделия первого сорта. Поскольку выбор каждого изделия не зависит от других изделий, вероятность каждого из этих исходов будет различной.

Чтобы найти закон распределения для \(X\), мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное число испытаний (выбор изделий) и вероятность успеха (изделий первого сорта) в каждом испытании.

Закон распределения будет иметь вид:
\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},\]
где \(k\) - количество изделий первого сорта (0, 1, 2 или 3),
\(n\) - общее количество выбранных изделий (в данном случае 4),
\(p\) - вероятность успеха (изделия первого сорта).

Теперь нам нужно найти функцию распределения для \(X\). Функция распределения показывает вероятность того, что случайная величина \(X\) принимает значение меньше или равно некоторому числу \(k\).

Функция распределения формируется по формуле:
\[F(X=k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i).\]

Теперь перейдем к вычислению ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения для этой случайной величины.

Ожидание (или математическое ожидание) для случайной величины \(X\) определяется по формуле:
\[E(X) = \sum_{k} k \cdot P(X=k).\]

Дисперсия случайной величины \(X\) вычисляется по формуле:
\[Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2.\]

Среднее квадратичное отклонение (или стандартное отклонение) для случайной величины \(X\) находится как корень из дисперсии:
\[\sigma = \sqrt{Var(X)}.\]

Теперь, когда мы знаем все эти параметры, давайте перейдем к построению графика распределения.

Для дискретной случайной величины \(X\) мы можем построить столбчатую диаграмму, где по горизонтальной оси будут отложены значения \(k\) (0, 1, 2, 3), а по вертикальной оси - соответствующие вероятности \(P(X=k)\).

Таким образом, мы можем найти закон распределения и функцию распределения для дискретной случайной величины \(X\), вычислить ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение, а затем построить график ее распределения.